Beste antwoord
Het kan op drie manieren worden beantwoord.
- 2,00,00,000 – Dit is 2 crore. Het aantal nullen is 7.
- 2 Crore – Geen nullen hier. Alleen 2 en Crore, nog steeds crore heeft o erin kan niet als nul worden beschouwd.
- 2,00,00,000 betekent, nullen die in getallen zijn f = 2,00,00,000 het gaat van a bereik van negatieve oneindigheid tot 2 crore. Supercomputers kunnen ook het aantal nullen in het bovengenoemde bereik niet berekenen.
Antwoord
De vraag: “Waarom is een getal verheven tot de macht nul gelijk aan één maar nul verheven tot de macht nul geeft geen antwoord? ” is met zichzelf in tegenspraak. Het beweert dat elk getal (zonder te vermelden wat een getal is) zonder enige uitzondering verheven is tot een exponent van 1 (zoals via tekst als “elk getal behalve \_\_\_”), en gaat vervolgens verder met te beweren dat 0 “geen antwoord geeft”. Omdat 0 een getal is, betekent de eerste bewering 0 = 1, terwijl de tweede bewering zegt dat 0⁰ ongedefinieerd is – we kunnen niet beide waar hebben.
In feite moet de eerste bewering als onvoorwaardelijk waar worden beschouwd en de tweede bewering als onjuist; daarom 0⁰ = 1.
De gebruikelijke argumenten die oproepen om 0⁰ als ongedefinieerd te beschouwen:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, die is ongedefinieerd, dus 0⁰, waarvan is aangetoond dat het gelijk is aan 0/0, moet ook ongedefinieerd zijn. (Een positieve waarde kan worden vervangen door 1.) Dit is een poging om een machtsverdelingswet te gebruiken, maar het is een ongeldige poging. De relevante divisiewet van bevoegdheden is niet simpelweg x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, maar het heeft beperkingen of voorwaarden die moeten worden vermeld en nageleefd. Een van de vele beperkingen is dat geen enkel deel van de toepassing van deze delingswet van bevoegdheden een deling door 0 of een reciproque van 0 mag bevatten. Die beperking is geschonden, dus we mogen niet schrijven 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Omdat de gelijkheid voor de middelste trede niet geldt, kunnen we niet zeggen dat het linkeruiteinde gelijk is aan het rechteruiteinde. Hetzelfde ongeldige argument kan worden gebruikt om te bewijzen dat 0³ ongedefinieerd is, waarvan we weten dat het onzin is: 0¹ = 0 per definitie van exponent 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, wat niet gedefinieerd is.
- x ^ 0 = 1 voor alle niet-nul x . 0 ^ x = 0 voor alle x niet-nul. Als we x = 0 laten, dan zouden de bovenstaande uitspraken 0⁰ = 1 en 0⁰ = 0 impliceren, wat een tegenstrijdigheid is, dus 0⁰ moet ongedefinieerd zijn. Wanneer mensen dit argument aanvoeren, pauzeren ze niet lang genoeg om na te denken over wat ze zeggen. De tweede verklaring is geldig voor, en alleen voor, positieve real x . Het is onjuist om te zeggen “voor alle niet-nul x ” voor de tweede relatie. De eerste relatie is echter inderdaad geldig voor negatieve real x evenals voor positieve real x , plus, daarnaast is de eerste relatie waar voor alle niet-nul complexen en quaternion x , iets wat de tweede relatie niet kan zeggen. Het heeft geen zin om evenveel gewicht toe te kennen aan een casus die alleen voor positieve reële waarden werkt, aan een casus die werkt voor alle niet nul reële, complexe en quaternionwaarden – de veel bredere algemeenheid van de laatste is veel waard. Bovendien ligt voor de tweede relatie het x = 0-geval in kwestie op een grens tussen zinvolle gevallen en niet-zinvolle gevallen, dus waarom zouden we aannemen dat de zinvolle gevallen zijn degenen die van toepassing zijn en dat ze zonder aanpassing van toepassing zijn?
- De limiet van x ^ y als x en y onafhankelijke benadering 0 bestaat niet omdat de trendwaarde afhangt van het benaderingspad van x en y richting 0: er is een breed scala aan mogelijke waarden. (Soms wordt dit argument gecombineerd met # 2 hierboven.) Het probleem met dit argument is dat of een functie op een punt is gedefinieerd en, zo ja, wat is de waarde, onafhankelijk is van het feit of de functie een limiet heeft die dat punt nadert en, zo ja, wat is de waarde van de limiet. Het is heel goed mogelijk dat geen van beide bestaat; het is heel goed mogelijk dat het een bestaat, maar het ander niet; het is heel goed mogelijk dat beide bestaan, in welk geval de twee waarden al dan niet hetzelfde kunnen zijn. Als gevolg hiervan heeft het feit dat x ^ y geen limiet heeft als x en y benadering 0 zegt niets over of 0 gedefinieerd of ongedefinieerd is. De bespreking van limieten met betrekking tot de vraag of 0 een waarde heeft, is totaal niet relevant.De signum-functie is een voorbeeld van een functie met een padafhankelijke limiet, aangezien x 0 nadert, maar sgn 0 is gedefinieerd, in het bijzonder sgn x is gedefinieerd als 1 voor positief echt x , 0 voor x = 0, en −1 voor negatief reëel x , dus x 0 van links benaderen levert een limiet op van −1 en x benaderen 0 van rechts levert een waarde op van 1, waarbij het conflict betekent dat de limiet niet bestaan, ook al is sgn 0 = 0. Zon gebrek aan limiet rechtvaardigt ons niet om te zeggen dat sgn 0 ongedefinieerd moet zijn.
Dat beschikt over de meest voorkomende argumenten die worden gebruikt om te rechtvaardigen met betrekking tot 0⁰ als ongedefinieerd, dus nu roept dat de vraag op wat, indien aanwezig, waarde moet worden gedefinieerd als 0⁰?
Het fundamentele argument betreft het principe van de nulwerking toegepast op multipl ication. Het product zonder factoren moet worden beschouwd als de multiplicatieve identiteit 1; symbolisch, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (voor het berekenen van x ⁰, x\_i = x; voor het berekenen van 0 !, x\_i = i.) Deze eigenschap hangt er niet van af of alle kandidaat x\_i niet nul zijn, of sommige niet nul zijn en sommige 0, of allemaal 0. Er zijn geen uitzonderingsgevallen. We hebben dus 0! = 1 en we hebben x ⁰ = 0 zonder beperking voor alle quaternions (niet alleen alle reële getallen, niet alleen alle complexe getallen), dus 0⁰ = 1.
Het andere belangrijke criterium is bruikbaarheid. Wiskundigen definiëren dingen omdat ze nuttig zijn voor hun onderzoek. Als een definitie niet bruikbaar is, heeft het geen zin om hem te maken, dus is 0⁰ = 1 echt bruikbaar, afgezien van het standpunt van de lege-productregel? Het antwoord is een volmondig ja. Neem de machtreeks voor \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Wiskundigen hebben bewezen dat deze machtsreeks convergeert voor alle complexe getallen x en dat het resultaat inderdaad \ text {e} ^ x is. Aangezien 0 een complex getal is en deze machtreeks werkt voor alle complexe getallen, moet deze werken voor x = 0. Laten we eerst de sommatie uitbreiden: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Dus, wat gebeurt er voor x = 0? We hebben: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
We weten dat 0 verheven tot een positieve exponent 0 is, wat van toepassing is op alle termen behalve de eerste aan de rechterkant van de =; al die termen doen niets, zodat ze kunnen verdwijnen. We weten ook dat elk complex getal dat niet nul is dat wordt verhoogd tot een exponent van 0 gelijk is aan 1, en e een complex getal is dat niet nul is, dus \ text {e} ^ 0 = 1. Daarom hebben we nu: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Wiskundigen zijn het erover eens dat 0! = 1 (regel voor lege producten). Daarom is 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Kijk naar wat we zojuist hebben bepaald: 0⁰ = 1. Om deze machtreeks te laten werken, moeten we ofwel 0⁰ hebben gedefinieerd als 1 of een speciale waarschuwing schrijven met de machtreeks waarvoor het geldt, en alleen voor, niet-nul complex x en geef expliciet apart aan dat e⁰ = 1. Waarom is er zon onnodige complicatie bij het uitdrukken van de machtsreeks om te vermijden dat 0⁰ = 1 zonder wezenlijke reden wordt gedefinieerd?
Hetzelfde geldt voor tal van andere machtsreeksen, voor polynomen, voor de binominale stelling, voor verschillende combinatorische problemen en voor andere toepassingen. Er zijn veel gevallen van significante vereenvoudiging en generalisatie die optreden, dan definiëren we 0⁰ = 1.
Er bestaan geen gevallen waarin het nuttig is om 0⁰ te beschouwen als een andere waarde dan 1, noch als beschouw 0⁰ als ongedefinieerd. De dichtstbijzijnde situatie die zich voordoet, is in bepaalde situaties bij onderzoek in reële analyse, waar het nuttig is om functies continu te laten zijn in hun hele domein. Vanwege de problemen met limieten voor het naderen van x ^ y (0; 0), maakt dat x ^ y discontinu op (0; 0), ongeacht of 0 zelf is gedefinieerd en, zo ja, tot welke waarde. Het terugtrekken van een punt uit het domein betekent in feite dat de functie op dat punt als ongedefinieerd wordt beschouwd. Maar alleen omdat het nuttig is om (0; 0) uit het domein van x ^ y te trekken voor je onderzoek, wil dat nog niet zeggen dat dit in alle aspecten van de wiskunde moet gebeuren. Ik heb misschien te maken met bijectieve functies om omkeerbaarheid te ondersteunen. Als ik met x ² werk en omkeerbaarheid nodig heb, moet ik het domein beperken tot zoiets als de reeks niet-negatieve reële getallen, wat voor mijn doeleinden betekent dat (- 3) ² is niet gedefinieerd, wat een belachelijke beperking zou zijn om u op te leggen; evenzo, sommige wiskundigen die 0⁰ ongedefinieerd nodig hebben, betekent niet dat het een beperking is die aan alle wiskundigen wordt opgelegd.In feite heeft de regel voor het lege product de overhand in de context van exponenten met gehele getallen, terwijl problemen met continuïteit alleen optreden in de context van reële exponenten. Een mogelijke oplossing is om 0⁰ = 1 te beschouwen wanneer de exponent een geheel getal 0 is, maar niet gedefinieerd, de exponent een reële 0 is; als dit je vreemd in de oren klinkt dat het antwoord afhangt van het feit of een waarde wordt beschouwd als een geheel getal versus een algemener reëel getal, dan is dit niet uniek voor 0⁰ voor de machtsfunctie, aangezien (-8) ^ {1/3} is beschouwd als −2 als −8 als een reëel getal wordt beschouwd, maar als 1 + i√3 als −8 als een complex getal wordt beschouwd. De machtsfunctie x ^ y ziet er zo eenvoudig uit, maar vertoont echt akelig gedrag.