Beste antwoord
Het korte antwoord is, ja, de bereik van een matrix is hetzelfde als de kolomruimte maar er is een subtiliteit.
Gegeven een getal m, kunnen we dit getal zien als een constante of als een middel om een lineaire functie te definiëren, f (x) = mx. Op dezelfde manier kunnen we een matrix \ mathbf {M} zien als een reeks getallen (saai), of als een middel om een lineaire functie te definiëren f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
De term range verwijst naar de set outputs die f () kan retourneren, en wordt doorgaans gedefinieerd als een eigenschap van functies, geen getallen.
De kolomruimte daarentegen wordt doorgaans gedefinieerd als een eigenschap van de matrix zelf. En aangezien de kolomruimte de verzameling is van alle mogelijke lineaire combinaties (ook bekend als span ) van de kolommen van \ mathbf {M}, dit kan geschreven worden als \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, dit is het bereik van f hierboven.
Antwoord
Het bereik van een matrix is het bereik van de matrix dat wordt gezien als een lineaire transformatie. Een n-bij-p (reële) matrix A is ook een lineaire transformatie van R ^ p naar R ^ n (de p-dimensionale Euclidische ruimte naar de n-dimensionale Euclidische ruimte.) Het domein is R ^ p en het bereik bestaat uit van alle lineaire combinaties van de kolommen van A, dwz de set \ {Ax: x \ in R ^ p \} (xa kolomvector.)
Als A rang p heeft, dan heeft het bereik rang p, en dit is mogelijk als n> = p.
Hetzelfde geldt voor een complexe matrix A als een lineaire transformatie van C ^ p naar C ^ n waar C het veld van complexe getallen is.