Beste antwoord
Ik zal dit presenteren alsof iedereen het ermee eens is, wat niet echt waar is.
Elk getal, reëel of complex, heeft twee vierkantswortels die negaties van elkaar zijn. De uitzondering is nul, wat zijn eigen negatie is.
Het domein van de vierkantswortel kan de reële getallen of de complexe getallen zijn, en de conventies zijn iets anders. Laten we ons eerst concentreren op de vierkantswortel van reële getallen.
Het radicale teken \ sqrt {x}, toegepast op een reëel getal, geeft de principal of positieve vierkantswortel. Als x \ ge 0 dan \ sqrt {x} \ ge 0. Dus om de vraag met kwalificaties te beantwoorden, is de hoofdvierkantswortel van een positief getal per definitie altijd positief.
De hoofdvierkantswortel van een negatieve real is een positieve real keer i. Hoewel de complexe getallen niet geordend zijn, is er een belangrijke ordening op de denkbeeldige as, analoog aan die op de reële as.
Als we het hebben over de vierkantswortel, bedoelen we meestal de hoofdvierkantswortel. Als we het hebben over “een vierkantswortel”, bedoelen we een van beide. Bij deze vraag levert het OP geen artikel, dus hier geen hulp.
Als we te maken hebben met vierkantswortels van reële getallen, is het erg belangrijk dat we het begrijpen
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Wanneer het domein een reëel domein is, is \ sqrt {x} een functie van reële getallen tot complex. Het krijgt een enkele unieke waarde voor elke reële x. Het is altijd 0, een positief reëel getal of een positief reëel getal maal i. Het is een van de twee vierkantswortels die is gedefinieerd als de belangrijkste vierkantswortel.
Tenzij expliciet om hoofdwaarden wordt gevraagd, moet de vierkantswortel van een complex getal \ sqrt {z} worden behandeld als een meerwaardige expressie. Dus hier zou ik zeggen \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
Als we expliciet de uitdrukking met meerdere waarden willen, verwijst de uitdrukking naar beide vierkantswortels, ofwel w zodanig dat w ^ 2 = z. Ik geef de voorkeur aan \ pm \ sqrt {z}. Maar \ pm kan verwarrend en dubbelzinnig worden, dus het kan beide kanten op.
Meer controversieel: ik behandel het wederkerige natuurlijke getal als een exponent, z ^ {\ frac 1 2}, zoals de uitdrukking met meerdere waarden verwijst naar alle wortels, niet een functie.
Wat gelijkheid van meerwaardige uitdrukkingen precies betekent, wordt meestal verdoezeld, vooral het vervelende probleem dat 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Misschien.
Antwoord
Hmm, deze is lastig … Dus hier gaat het:
De vierkantswortel is een wiskundige functie, en zijn werkelijke naam is een positieve vierkantswortelfunctie, die duidelijk alle + ve waarden geeft. De reden voor dit onderscheid is dat in een wiskundige functie f (x, y) voor elke waarde van x een unieke waarde van y. De vierkantswortel van 4 kan dus per definitie niet +2, -2 zijn! Daarom nemen we als norm alleen de vierkantswortelfunctie als positief.
Dit zorgt voor veel verwarring omdat het kwadraat van zowel +2 als -2 4 is, maar de vierkantswortel van 4 kan alleen de waarde +2 aannemen, maar ik denk dat dat de set is van regels die we naleven. Voel je vrij om over een ander systeem na te denken, waarbij de vierkantswortelfunctie zowel de + ve als de -ve waarden geeft, hoewel ik me kan voorstellen dat het ergens op de weg tot een enorme wanorde zou leiden. Toch is de schoonheid van wiskunde is in experimenten!