Beste antwoord
Ik leerde eens een paar middelbare scholieren wiskunde op een exclusieve privéschool. Ik had een student die arrogant was en mij en de andere studenten constant irriteerde. De administratie was geen voorstander van mijn pogingen om hem te straffen. Ik kwam met deze oplossing:
Ik vertelde hem of hij een patroon voor priemgetallen kon vinden, zodat hij de volgende kon voorspellen, hij veel geld kon verdienen en beroemd kon worden. Hij vond deze uitdaging leuk en begon zich eraan te wijden. Hij had paginas en paginas met berekeningen en viel me nooit meer lastig. Af en toe toonde ik enige interesse in zijn werk en zei hij zoiets als: “Ik denk dat ik iets van plan ben …”
Ik wist dat hij niets zou vinden, omdat ik wist dat er geen patroon is voor priemgetallen. Er kunnen enkele lokale gebieden zijn waar het lijkt alsof er een patroon is, maar er is geen algemeen patroon en geen formule voor het voorspellen van het VOLGENDE priemgetal zonder TESTEN.
Denk er zo over. U bent een paleolithische man die erachter komt dat 2, 3, 5, 7, 11 en 13 priemgetallen zijn. Je vraagt je af wat het volgende priemgetal zal zijn. Er is geen manier om het te vinden zonder wat testen. U kunt 14 testen. Nee. 15, nee. 16, nee. 17, Bingo.
Je hoeft alleen de factoren te testen tot en met de vierkantswortel van het getal (in het geval van 17: 2, 3 en 4) omdat het volgende getal te groot zal zijn, maar je moet wel TESTEN. Dit testen neemt rekenkundig een LANGE TIJD in beslag. Dit is de huidige basis van cryptografie. Als we het volgende priemgetal zouden kunnen voorspellen, zouden al onze wachtwoorden naakt zijn.
Wiskundigen lijken er een hekel aan te hebben om toe te geven dat er een CHAOS tussen de getallen staat, maar die is er, en ik vind het mooi.
Hoe weet ik dat er geen patroon is?
Patroon: (woordenboekdefinitie) • een arrangement of reeks REGELMATIG gevonden in vergelijkbare objecten of gebeurtenissen. • een REGELMATIGE en begrijpelijke vorm of volgorde die te zien is in bepaalde acties of situaties.
Dus een PATROON impliceert REGELMATIGHEID of HERHALING. HERHALING impliceert VERMENIGVOUDIGING omdat VERMENIGING HERHALENDE AANVULLING is. Vermenigvuldiging impliceert FACTOREN, en we kunnen geen factoren hebben als het een priemgetal is.
Berekenen: (definitie) bepaal (de hoeveelheid of het aantal van iets) wiskundig. We bepalen niet of een getal een priemgetal is WISKUNDE. We doen het EXPERIMENTEEL.
Ik denk dat priemgetallen geen PATROON hebben, maar bepaalde TENDENTIES lijken te hebben. Ze HEBBEN de neiging om spaarzamer te worden naarmate de hoeveelheden toenemen, maar dan plotseling … zie je er twee samen. Dit worden twin priemgetallen genoemd. Voorbeelden: (41, 43), (137, 139). Niemand weet of tweelingpriemgetallen, zoals priemgetallen, oneindig zijn. Het is niet bewezen.
Wikipedia: “Het huidige grootste bekende twin-priempaar is 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 met 388.342 decimalen. Het werd ontdekt in september 2016. ” Tweeling priemgetallen – Wikipedia
Net als bij de priemgetallen zelf, is er geen verdomde manier om te voorspellen wanneer deze priemgetallen zullen komen langs. (Het zou mogelijk zijn om te bewijzen of ze ooit eindigen. Probeer het.)
Sommige mensen denken dat er “patronen” zijn in de Ulam-spiraal. Ulam spiraal – Wikipedia
ECHTER, als je de figuur downloadt en opblaast, zul je enkele rechte lijnen zien verschijnen en dan VERDWIJNEN. Priemgetallen zijn oneindig. Dus natuurlijk zullen statistisch gezien (in ons ARBITRARY Base 10-systeem) soms rechte lijnen verschijnen, zoals bij het omdraaien van munten, je soms een grote reeks hoofden krijgt.
(Ook gebruikt de Ulam Spiral vierkanten. Ik denk dat er een andere spiraal zal verschijnen als je andere vlakvullende vormen gebruikt: driehoeken of zeshoeken.)
Wetenschap gaat over het vinden van patronen om te voorspellen. We kunnen voorspellen wanneer de volgende maansverduistering zal zijn, we kunnen voorspellen wanneer de zon morgen opkomt, we kunnen voorspellen wanneer het water zal bevriezen en koken, maar we KUNNEN het volgende priemgetal NIET voorspellen.
Samenvatting: u kunt de slang misschien oppakken, maar u weet niet welke kant hij op zal draaien.
Opmerking: dit antwoord is meestal gebaseerd op mijn vorige antwoord hier:
Bill Lauritzen s antwoord op Is er een prijs voor degene die het patroon in priemgetallen ontdekt?
Antwoord
Dat is het is waar dat de verdeling van priemgetallen willekeurig kan lijken (en tot op zekere hoogte). De tools van de analytische getaltheorie geven ons echter cruciaal inzicht in de verdeling van de priemgetallen en onthullen veel interessante patronen.
Laat \ pi (x) staan voor het aantal priemgetallen \ leq x waarbij x een positieve reële variabele is.
Volgens de priemgetalstelling , waarvan ik geen mooi elementair bewijs ken (het eenvoudigste dat ik ken, maakt gebruik van complexe analyse), het volgende geldt voor \ pi (x) als x oneindig nadert:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
De ~ staat voor asymptotisch equivalentie, waarvan het belangrijkste idee is dat de functie \ pi (x) zeer dicht bij de functie \ frac {x} {\ log x} komt, waarbij de benadering steeds beter wordt naarmate x groter en groter wordt.
Voor degenen die bekend zijn met elementaire calculus, is f (x) \ sim g (x) als de limiet als x oneindig van \ frac {f (x)} {g (x)} nadert 1 is.
Zoals gebruikelijk in hogere wiskunde, vertegenwoordigt log de natuurlijke logaritme. Dit impliceert ook dat als p (n) het n-de priemgetal vertegenwoordigt, dan:
p (n) \ sim n \ log (n)
Een andere eenvoudige verzamelbrief is dat als je kiest een willekeurig geheel getal uit de eerste n positieve gehele getallen, de kans dat het “het priemgetal is ongeveer \ frac {1} {\ log n}
Een andere vorm van de priemgetalstelling die iets minder intuïtief is maar empirisch nauwkeuriger is het volgende:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
In beide gevallen is de linker zijde is een geheel getal, terwijl de rechterkant een of andere vreselijke transcendentale functie is (die we vreemd genoeg iets gemakkelijker kunnen evalueren dan de linkerzijde). In ieder geval moet er een fout zijn als we \ pi (x) benaderen als \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Ik weet niet helemaal wat de beste tot nu toe bewezen fout is, maar als de Riemann-hypothese waar blijkt te zijn, kunnen we de fout gebonden aan:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
Evenzo, als de gebonden fout waar is, kunnen we ook de Riemann bewijzen hypothese. Het ding over deze foutgebonden is dat het “krap is: we weten dat we” niet beter kunnen doen.
Ik “zou zeggen dat de priemgetalstelling waarschijnlijk het belangrijkste en meest interessante resultaat is in de analytische getaltheorie
tl; dr, de priemgetallen volgen asymptotisch een verdeling die lijkt op een relatief eenvoudige analytische functie, dus ja, er is een patroon.