Beste antwoord
Waarom wordt k gebruikt als evenredigheidsconstante?
Niet alleen k . a, b, c, d, m, n, p, q zijn enkele letters in het Romeinse alfabet die vaak als constanten worden gebruikt.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau en \ omega zijn enkele veelgebruikte letters in het Griekse alfabet als constanten.
Terug naar uw vraag – niemand weet zeker waarom. Maar ik ben er sterk van overtuigd dat k bijna overal als constante wordt gebruikt, omdat het Duitse woord voor constante is konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . En wat denk je? De eerste letter van dat woord is k . En de Duitsers hebben enorm bijgedragen aan de wiskunde sinds het begin ervan.
Ik ben ertoe gebracht om op deze manier te geloven, niet alleen als evenredigheidsconstante, k geeft ook een aantal gespecificeerde constante aan: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Zoals- Boltzmann-constante , Sierpińskis constante , Khinchins constante , Landau – Ramanujan constante – om er maar een paar te noemen. Ik kan alleen maar raden dat zij (de betrokken wiskundigen of degenen die ze noemden) op de hoogte waren en beïnvloed werden door het Duitse woord konstante.
Dat is alles. Bedankt voor het lezen.
Antwoord
Deze vraag benadrukt mooi hoe natuurkunde verschilt van wiskunde.
Onthoud dat het doel van elke vergelijking in de natuurkunde, inclusief de tweede wet van Newton, eenvoudig is om een relatie “in de echte wereld” te modelleren. Dat betekent welke hoeveelheden we kiezen om constant te zijn en welke we ervoor kiezen om variabel te zijn, volledig afhankelijk zijn van de fysieke situatie die de vergelijking moet modelleren.
Met dat in gedachten, laten we naar de tweede wet van Newton gaan. Newton zelf heeft zijn wet oorspronkelijk niet op die manier uitgedrukt. In plaats daarvan drukte hij het (in woorden) uit als
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Waar \ mathbf {F} is de kracht (let op, Kracht is een vector), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} is de snelheid waarmee het momentum \ mathbf {p} verandert (ook een vector).
Het is mogelijk om dit te interpreteren als een definitie voor kracht, en onder die interpretatie is het niet echt zinvol om een evenredigheidsconstante in te voegen, omdat een definitie van een grootheid meestal zegt ons in de meest directe termen wat die hoeveelheid is in termen van een andere hoeveelheid.
Zoals geschreven is dit natuurlijk een set van drie vergelijkingen, die de richting van de kracht in de ruimte specificeren. In veel situaties is de fysica van de situatie echter zodanig dat we mogelijk alleen geïnteresseerd zijn in de omvang van de kracht, en dan wordt dit vereenvoudigd tot
F = \ frac {dp} {dt}
Nu wordt de grootte van het momentum gegeven door p = mv. De meest algemene uitdrukking voor de tijdsafgeleide van deze grootheid is
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
De eerste term aan de rechterkant vertegenwoordigt een object dat beweegt met een constante snelheid terwijl de massa verandert, terwijl de tweede term een object vertegenwoordigt met een constante massa die beweegt met een veranderende snelheid. De situaties waarin we meestal het meest geïnteresseerd zijn in het modelleren van nemen de massa van het object als een constante. Dat betekent
\ frac {dm} {dt} = 0
En daarom verdwijnt de eerste term. We blijven zitten met
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
En nu zou het duidelijk moeten zijn: In deze vergelijking is de evenredigheidsconstante m .
Inderdaad, als we in plaats daarvan bijvoorbeeld een raket hadden willen modelleren die met een constante snelheid beweegt maar die massa verliest (dat wil zeggen, zijn massa verandert in de loop van de tijd) omdat het brandstof uitstoot als uitlaat die het voortstuwt, zouden we in plaats daarvan schrijven
F = v \ frac {dm} {dt}
Omdat een constante snelheid betekent
\ frac {dv} {dt} = 0
En daarom verdwijnt de tweede term in de algemene uitdrukking hierboven. Dus in deze vergelijking is de evenredigheidsconstante v.
Wat dit laat zien, hoop ik, is dat wat we ook beschouwen als de evenredigheidsconstante hangt volledig af van de gebeurtenissen in de echte wereld en de relaties daartussen. M werd bijvoorbeeld een evenredigheidsconstante tussen de grootte van kracht en versnelling, juist omdat we een situatie wilden modelleren waarin de massa van het object constant was.Evenzo werd v een evenredigheidsconstante tussen de grootte van de kracht en de snelheid waarmee de massa in de tijd verandert, juist omdat we dat soort situaties wilden modelleren.
Laat me dit contrasteren met hoe een puur wiskundige benadering zou eruit kunnen zien. Onthoud dat het onderscheid nu is dat het ons niet echt kan schelen dat de vergelijkingen de werkelijkheid modelleren, we geven er alleen om dat ze consistent zijn (en, natuurlijk, dat ze leiden tot nieuwe interessante wiskunde). Dus als ik alleen wiskunde doe, ben ik volkomen vrij om massa te overwegen in welke eenheden ik maar wil. Laten we, om het punt naar voren te brengen, iets belachelijks kiezen, zoals blobs als massa-eenheden. Om de consistentie te behouden (en alleen om die reden), moet ik de relatie tussen blobs en standaardeenheden zoals kilogram definiëren. Laten we zeggen dat ik definieer
1 kilogram = 3 blobs
Welnu, met mijn nieuwe eenheden moet ik nu een evenredigheidsconstante in de vergelijking invoegen, aangezien de eenheden van Force, Newtons , bevatten geen klodders. Dus, rekening houdend met de massa in eenheden van blobs, afgekort met bb, wordt F = ma
F = \ frac {1} {3} kma
Waar
k = \ frac {1kg} {1bb} is mijn proportionaliteitsconstante. Of, als ik wat wiskundig efficiënter ben, schrijf ik
F = k “ma
Waar
k” = \ frac {1kg} {3bb } is mijn nieuwe proportionaliteitsconstante die net de constante \ frac {1} {3} heeft geabsorbeerd.
Het punt van dit alles is dat deze manipulaties puur wiskundig zijn. De betrokken onderscheidingen hebben niets te maken met de reële relaties die de vergelijking moet modelleren. Ze hebben geen fysische inhoud en daarom zie je in wezen nooit zoiets *.
In de meeste situaties zijn de enige constanten van evenredigheid die je in de natuurkunde ziet degene die ons worden opgedrongen door de fysica van de situatie.
(* Ik zeg “in wezen” omdat er sommige situaties zijn, vooral in elektromagnetisme, waarin dergelijke problemen zich voordoen als gevolg van verschillende tradities van het weergeven van grootheden, maar de meeste natuurkundigen beschouwen ze niet als “fysische problemen” )