Beste antwoord
Let op de gesloten en open cirkels. De open cirkel bij een y-waarde betekent dat dit geen waarde is van de functie wanneer je x aansluit. Bijvoorbeeld: f (−1) = – 4 aangezien dat is waar de dichte cirkel is. Bovendien is f (3) ongedefinieerd omdat er geen dichte cirkel is bij x = 3. Maar hoe zit het met de limieten?
Uit het plaatje hierboven zien we dat limx → 3 − f (x) = 2 en limx → 3 + f (x) = 2 dus limx → 3f (x) = 2 ook al is f (3) ongedefinieerd! Nogmaals, het maakt niet uit wat er gebeurt als x = 3 alleen wat er gebeurt in de buurt van die waarde!
Echter, limx → −1 − f (x) = – 4 en limx → −1 + f (x) = 2. Daarom bestaat limx → −1f (x) niet, ook al is f (−1) = – 4.
Antwoord
Open punten (hol) zijn op het gegeven punt niet gedefinieerd , terwijl gesloten punten (gevuld) op het gegeven punt worden gedefinieerd. Dit betekent dat bij de corresponderende x-waarde een y-waarde bestaat voor de functie bij de punt als de punt gesloten is.
x = 5 is een punt van discontinuïteit in deze functie, omdat zowel open als gesloten stippen bestaan bij x = 5 bij verschillende y-waarden. Dit is vaak een teken van een stuksgewijze functie. Bij de gesloten punt bestaat x = 5 en y. Bij de open stip worden x = 5 en y echter op een ander punt gedefinieerd dan de limiet rond x = 5 zou suggereren.
Desondanks kan nog steeds een dubbelzijdige limiet op x = 5 worden genomen discontinuïteit. Enkelzijdige limieten van links en rechts kunnen worden genomen. Ze zullen dezelfde resultaten opleveren als elkaar, wat de reden is waarom een dubbelzijdige limiet kan worden genomen.
Dit is een voorbeeld van een verwijderbare discontinuïteit omdat de limiet bestaat, maar de functie is dat niet continu omdat de limiet niet gelijk is aan de werkelijke waarde van de functie. Deze discontinuïteiten kunnen vaak voortkomen uit rationele functies die er anders uitzien als polynomen.