Beste antwoord
2 + 2 =? lijkt een van de gemakkelijkste problemen in de wiskunde te zijn, en waarschijnlijk een van de eerste die je ooit bent tegengekomen. Als Kate 2 appels heeft en Matt haar nog 2 appels geeft, dan heeft ze 4 appels. Uiteraard.
Maar wat als we u vertelden dat 2 + 2 =? heeft zelfs enkele van de slimste wiskundigen stomverbaasd omdat het niet per se gelijk hoeft te zijn aan 4? Je vraagt je waarschijnlijk af hoe dat mogelijk is. Een bewijs is: een reeks logische stappen die zijn verkregen door deductieve (dus geen grote sprongen maken in logica, tenzij per definitie), en dus empirisch (van het geleverde bewijs) resulterend in een directe gelijkwaardigheid (zijnde, naast andere soorten gelijkwaardigheid, maar primair, in permutatie, multiplicatief / additief & negatief / positief & even / oneven. .. meta-wiskundig) van toestanden, is de kortste afstand (in absolute termen) ofwel oneindig, nul en / of ook één.
Echt, het gepoogde bewijs van 2 + 2 = 5 is gebaseerd op een vervormd type trigonometrie, dat in wezen de bron was van de huidige calculus (probeer gewoon Tangens of Secant te tekenen zonder het idee van respectievelijk Calculus ‘derivaat en integraal’ tegen te komen), en is eigenlijk het resultaat van een eventuele additieve gelijkwaardigheid van twee getallen gelijk aan elk getal, (b Omdat het meten van hypotenusa van een bepaalde zijde in wezen multiplicatief is, en dus gedeeltelijk irrationeel.
(Wat me doet afvragen … is er een 2 * 2 = 5 equivalent? en het antwoord is een volmondig ja! Maar eerst het “bewijs” zoals geschreven door Charles Seife.)
Laat a = b en a en b = 1. Bekijk dit nu eens…
b ^ 2 = ab … (eq.1)
Aangezien a gelijk is aan zichzelf, is het duidelijk dat
a ^ 2 = a ^ 2 … (vergelijking 2)
Trek vergelijking 1 af van vergelijking 2. Dit geeft
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (vergelijking 3)
We kunnen beide kanten van de vergelijking factoriseren; (a ^ 2) -ab is gelijk aan a (a-b). Evenzo is a ^ 2-b ^ 2 gelijk aan (a + b) (a – b) (Er is hier niets vreemds aan de hand. Deze bewering is volkomen waar. Voer getallen in en ontdek het zelf!) Door in vergelijking 3 te vervangen, get
(a + b) (ab) = a (ab) … (eq.5)
Tot zover, zo goed. Deel nu beide kanten van de vergelijking door (ab) en we krijgen
a + b = a … (vergelijking 5)
b = 0 … (verg. 6)
Maar we stellen b aan het begin van dit bewijs gelijk aan 1, dus dit betekent dat
1 = 0 … (vergelijking 7)
… Hoe dan ook, zover komen, geeft ons de kern van het bewijs, later in het bewijs bewijst Charles Seife dat Winston Churchill een wortel was! als je wilt weten hoe dat mogelijk is, raad ik je aan het boek te lezen.
Voeg uit vergelijking 7 een getal toe aan een van beide zijden en zorg dat het gelijk is aan een ander getal, één groter dan zichzelf.
Door vergelijking 7 te vermenigvuldigen nadat je eraan hebt toegevoegd, kun je krijgen: elk getal is gelijk aan een ander getal.
Vandaar dat, conceptueel, elk getal gelijk is aan nul, en, theoretisch, dat omvat oneindigheid. Maar dat is ook de reden waarom wanneer je door nul deelt, het “Ongedefinieerd” is. Wat bijgevolg is wat er in deze vergelijking gebeurt … vervang gewoon 1 in vergelijking 3 en je zult zien dat we delen door nul in vergelijking 5.
Dit is wat leidde tot de uitvinding van calculus. Echt, vanaf hier gaat dit over in Hilbert Space … maar dat kan het beste worden gelaten voor een andere vermelding, hopelijk, over het eigenlijke onderwerp van kwantisering .
Dat is alles waar ik tijd voor heb …
DIT BEWIJS IS PER DEFINITIE ONJUIST, maar het biedt een goed hulpmiddel om te begrijpen waarom we dingen in de wiskunde definiëren zoals we do.
Een goede vraag om vanaf hier te stellen zou zijn (gebaseerd op mijn vorige raaklijn):
Is 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? Of is het gelijk aan nulpunt negen herhalen? Bron: Zero: Biography of a Dangerous Idea door Charles Seife
Antwoord
Ik zal beginnen met basis 10 aan te nemen.
Peano introduceerde deze axiomas in een poging om rekenkunde te formaliseren. Hoewel niet is bewezen dat ze op zichzelf consistent zijn, wordt aangenomen dat ze als zodanig redelijk zijn. Hoewel ik normaal gesproken 0 niet als een natuurlijk getal beschouw, maakt het dit proces een beetje gemakkelijker, om te beginnen door nul te definiëren als het eerste natuurlijke getal, dwz. 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano gaat vervolgens verder met het definiëren van het volgende over gelijkheden met de naturals:
- Gelijkheid is symmetrisch . (dwz. \ alpha = \ beta \ impliceert \ beta = \ alpha)
- Gelijkheid is reflexief . (dwz. \ alpha = \ alpha voor alle natuurlijke \ alpha)
- Gelijkheid is transitief . (dwz als \ alpha = \ beta en \ beta = \ gamma, dan \ alpha = \ gamma)
- De naturals zijn gesloten onder gelijkheid. (als \ alpha een natuurlijk getal is, en \ alpha = \ beta, \ beta is ook een natuurlijk getal)
We moeten nu de opvolgerfunctie introduceren, die is injectief , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ impliceert \ alpha = \ beta) \ text {aangegeven} S. De naturals worden gesloten onder de opvolgerfunctie.De opvolgerfunctie neemt een natuurlijk getal en voert zijn opvolger uit. D.w.z. S (0) = 1, en S (1) = 2.
Er is geen nummer waarvan 0 een opvolger is.
Met behulp van de opvolgerfunctie kunnen we de eerste paar naturals,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, waarbij \ mathbb {N} wordt geïnterpreteerd als set. Hieruit volgt dat S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Met dat gezegd, kunnen we rekenkunde definiëren met behulp van de opvolger functie.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
We worden geconfronteerd met dit lafhartige probleem, 2 + 2 dat wiskundigen heeft geplaagd eeuwenlang.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {door def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {door def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {door def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {door def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {door def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {door def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { by def}} 4.
\ daarom 2 + 2 = 4 \ blacksquare.