Beste antwoord
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
Antwoord
De fundamentele ding over decimaal is dat het slechts een van de veel formulieren die worden gebruikt om getallen weer te geven. Het is echter zon veel voorkomende vorm dat velen (buiten hun schuld) het nummer gaan associëren met het formulier zelf. En als twee getallen twee verschillende vormen hebben, dan moeten het toch verschillende getallen zijn?
Maar hoe zit het met de volgende twee getallen:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
Heel andere representaties , maar door de nodige berekeningen / annuleringen door te nemen en uit te voeren, zult u me vrijwel zeker geloven dat deze twee vormen het hetzelfde getal vertegenwoordigen.
Waarom?
Omdat wanneer ons breuken wordt geleerd, ons al in een zeer vroeg stadium wordt geleerd dat twee breuken hetzelfde getal kunnen zijn, en dat ze zich in gereduceerde vorm als de teller en de noemer geen gemeenschappelijke factoren hebben die groter zijn dan 1.
En daar houden we aan vast.
We zijn ervan overtuigd door ervaring en herhaling van die ervaring, en we kunnen verschillende vormen gebruiken om die ervaring te verifiëren.
Niet zozeer met decimalen, laat staan met andere positionele formulieren.
Het leuke van de decimale weergave van getallen is dat voor de meeste getallen (in zekere technische zin) de decimale vorm is inderdaad uniek (maar in de meeste van die gevallen – in dezelfde zin – is het onpraktisch om in alle details op te schrijven, laten we het zo zeggen).
Er zijn echter een paar uitzonderingen. Met “weinig” bedoel ik dat in vergelijking met de hele “partij” getallen die in principe (zo niet in de praktijk) in decimalen kunnen worden geschreven.De uitzonderingen zijn de getallen die rationeel zijn, en hun noemers (in gereduceerde vorm) hebben alleen machten van 2 en / of machten van 5.
De tool die je nodig hebt om het te begrijpen, is de essentie van een convergente geometrische reeks.
Een convergente (oneindige) geometrische reeks is een reeks van de vorm
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Wanneer de reeks eindigt na een eindig aantal termen met de hoogste macht N is het vrij eenvoudig te bevestigen dat de reeks optelt tot
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
en we vragen wat het betekent om een oneindige som te hebben. De conventionele definitie is dat de termen snel genoeg kleiner worden zodat de totale waarde een eindige limiet nadert naarmate N willekeurig groot wordt. Het onderzoeken van dit idee leidt ons tot een voorwaarde, namelijk dat de gemeenschappelijke verhouding r moet liggen tussen (maar ook niet) -1 en 1. Of, | r | , equivalent aan -1 .
Dan wordt de formule
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
als de term r ^ N \ to0.
Bedenk nu hoe decimale notatie wordt gedefinieerd: het is eigenlijk gewoon een afkorting voor een reeks van de vorm
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
waarbij k de hoogste niet-nul macht van tien is die kleiner is dan het getal, en a\_i, b\_j zijn de decimale cijfers (gehele getallen van nul tot negen).
Het getal 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 is een getal van deze vorm, waarbij k = 0, en a\_0 = 9 = b\_j voor alle positieve gehele getallen j. Dit geeft ons gelukkig precies de vorm van een geometrische reeks! (Merk op dat elk getal in decimale vorm waar de cijfers verschillen van 9 naar rechts, hierboven wordt begrensd door een reeks als deze.)
We kunnen gewoon dingen inpluggen: de eerste term is a = 9 , en de gemeenschappelijke ratio is r = \ frac {1} {10} . We weten dus meteen dat deze reeks samenkomt!
We krijgen
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Heel netjes.
Er zijn natuurlijk nog andere trucs kan gebruiken om te bewijzen dat 9. \ dot9 = 10 (in ieder geval in decimaal …), maar het beste (in mijn gedachten) is iets te begrijpen over wat de notatie betekent en hoe het werkt – en dan is het gemakkelijk om er grip op te krijgen met het feit dat zelfs in positionele notatie niet elk getal slechts op één manier wordt weergegeven.
In het algemeen geldt dat als we een geldig grondtal b hebben, het getal dat in dat positionele grondtal wordt weergegeven de vorm 0 heeft. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots is altijd gelijk aan 1. Dus in binair (bijvoorbeeld), waar 0.1 = \ frac {1} {2}, hebben we 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. De oneindige reeks “methode” werkt op dezelfde manier om dit resultaat te bewijzen.