Beste antwoord
Er zijn veel goede antwoorden geschreven om u te helpen visualiseren wat deze vraag betekent, zodat u intuïtief een antwoord van 3. En niets wat ik hier schrijf, is bedoeld om iets weg te nemen van de waarde van die antwoorden. Ze helpen nieuwe studenten op een concrete manier na te denken over de link tussen wiskunde en modellering, en dat is een ENORME vaardigheid.
Met dat gezegd, wiskunde is geen modellering. Dus een alternatieve manier om over dit probleem na te denken, is vanuit een puur wiskundig perspectief. En als je deze vaardigheid ontwikkelt, werk je eraan om meer abstracte soorten wiskunde aan te kunnen die vaak een einde maken aan de wiskundecarrière van studenten die uitsluitend vertrouwen op een meer modelgerichte, intuïtieve benadering.
U vroeg “Wat is 3/4 gedeeld door 1/4?”
Precies daar in het midden van uw vraag gebruikte u de term “gedeeld door”. Voor een wiskundige is dat een aanwijzing om onmiddellijk de DEFINITIE van deling op te zoeken. Definities zijn de stenen waarop wiskunde is gebouwd.
Een definitie van deling (in deze context) is:
Gegeven twee getallen, a en b (met b \ ne 0), a gedeeld door b is c als c maal b gelijk is aan a.
Dus nu weet ik wat “gedeeld door” betekent. Kunnen we deze definitie op uw probleem toepassen? Nou, je vraagt ongeveer 3/4 gedeeld door 1/4. Het lijkt erop dat je twee getallen hebt (de tweede is niet nul), en je wilt het resultaat weten van de eerste gedeeld door de seconde. Dus het lijkt erop dat deze definitie PRECIES is wat je nodig hebt.
Dus nu begint het spel. Het antwoord op het probleem is een willekeurig getal, c, zodat \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Hier is het goede nieuws. We weten nu hoe we kunnen controleren of een bepaald antwoord het juiste antwoord is. We vermenigvuldigen gewoon 1/4 met het antwoord van de kandidaat en als het resultaat 3/4 is, is het antwoord van de kandidaat correct.
Het slechte nieuws is dat als het antwoord van de kandidaat NIET correct is, we niet dichter bij het juiste antwoord vinden. Met andere woorden, de definitie helpt ons niet om het juiste antwoord te vinden. Het helpt ons alleen te controleren of het antwoord van een kandidaat juist is.
Dus wat kunnen we doen? Voor altijd vallen en opstaan lijkt een slecht idee. Het lijkt erop dat het nu tijd is om een regel uit te vinden die ons altijd het juiste antwoord geeft.
Ik stel deze regel voor. Gegeven twee getallen a en b \ ne 0, moet a gedeeld door b altijd gelijk zijn aan a maal het omgekeerde van b (vaak aangeduid als \ frac 1b).
Voordat we deze regel kunnen gebruiken, natuurlijk, we moeten ervoor zorgen dat het altijd werkt. Dat is wat we een bewijs noemen. Het bewijs hier is eenvoudig, aangezien de regel mij een kandidaatoplossing geeft en de definitie mij precies vertelt hoe ik een kandidaatoplossing moet controleren.
Is het waar dat a \ times \ frac 1b = a gedeeld door b? Welnu, de definitie zegt dat het antwoord c zal zijn als c keer b gelijk is aan a. Dus kunnen we onze kandidaat vermenigvuldigen, a \ maal \ frac 1b met b om a te krijgen? Omdat vermenigvuldiging commutatief is, kunnen we dat duidelijk. En de regel is bewezen. (We hebben zojuist onze eerste stelling over deling bewezen. Als definities ten grondslag liggen aan de wiskunde, zijn stellingen en bewijzen de mortel die ze bij elkaar houdt en waarmee ze kunnen worden gebruikt om grote constructies te bouwen.)
Dus het is lijkt het antwoord op ons probleem te zijn dat 3/4 gedeeld door 1/4 gelijk moet zijn aan het product van 3/4 en het omgekeerde van 1/4. Super goed! Klopt?
Welnu, we hebben nu ons verdelingsprobleem veranderd in twee problemen. Een daarvan is een vermenigvuldigingsprobleem. De andere is “Hoe vind ik het omgekeerde van 1/4?”.
Ik neem aan dat u weet hoe u getallen moet vermenigvuldigen, dus eigenlijk hebben we maar één vraag over het vinden van wederkerigheden. Dit is echt een ander probleem met de verdeling. Echt, ik vraag je nu om 1 gedeeld door 1/4 te vinden. Dat lijkt in eerste instantie geen overwinning, want ik ben weer bezig met divisie. Maar ik beweer dat het een overwinning is, omdat we niet meer moesten uitzoeken hoe we ELKE a door b moesten verdelen, maar dat we nu gewoon 1 gedeeld door b moesten vinden voor elke b die niet nul is. En het goede nieuws is dat het GEMAKKELIJK is om te leren hoe u de juiste wederkerigheid kunt raden. En als je het eenmaal hebt geraden, kun je het verifiëren, want dat is precies wat de definitie je vertelt hoe je het moet doen.
Het omgekeerde van 1/4 is 4. We kunnen dat verifiëren, aangezien het omgekeerde 1 gedeeld door 1 betekent / 4, en de definitie zegt dat 4 het antwoord is zolang 4 vermenigvuldigd met 1/4 geeft 1. En dat is inderdaad waar.
Dus eindelijk hebben we geleerd dat 3/4 gedeeld door 1 / 4 is gelijk aan 3/4 keer 4. En aangezien ik weet hoe ik moet vermenigvuldigen (bijvoorbeeld door 4 exemplaren van het getal 3/4 bij elkaar op te tellen), concludeer ik dat het antwoord 3 is. En als ik echt voorzichtig ben, ga terug en controleer het resultaat met behulp van de definitie om er zeker van te zijn dat ik geen fouten heb gemaakt. Dus is 1/4 vermenigvuldigd met 3 gelijk aan 3/4? Inderdaad, dus 3 is nu geverifieerd als de juiste oplossing.
Nu lijkt dat antwoord ECHT lang en ingewikkeld – vooral voor een nieuwkomer in wiskunde. Ik snap het.Je zult het antwoord inderdaad veel sneller krijgen met een rekenmachine of Google of met een aantal (voor jou onbewezen) technieken die de meesten van ons al vroeg op school leren. Maar daar gaat het helemaal niet om.
Wat we echt hebben geleerd, is niet het antwoord op DIT probleem. Wat we echt hebben geleerd, is dat we voor het verdelen van ELKE TWEE getallen moeten weten hoe we twee dingen moeten doen. Ten eerste moeten we weten hoe we EEN kunnen delen door een willekeurig getal (niet nul) om een wederkerigheid te krijgen. En ten tweede moeten we weten hoe we twee getallen kunnen vermenigvuldigen. En die waarheid is veel interessanter en dieper dan het antwoord op deze vraag te weten. Vergeef de veel gebruikte metafoor, maar het leert een man vissen in plaats van hem een vis te geven.
En de echte kracht is dat het verdeeldheid in een context plaatst waardoor het kan worden gegeneraliseerd. En generalisaties van de verdeling van twee getallen leiden tot belangrijke ideeën. En dat is waar wiskunde echt om draait!
Antwoord
Michael Lamar legt in zijn antwoord heel goed uit waarom het begrijpen van het abstracte begrip van deling wiskundig belangrijker is dan het specifieke antwoord op \ frac34 \ div \ frac14, dus ik duik meteen in de generalisatie:
Wat is \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
In a Veld elk niet-nul element a heeft een unieke multiplicatieve inverse a “zodat
\ quad a \ times a” = a ” \ times a = 1 de multiplicatieve identiteit.
Deling is gedefinieerd in termen van vermenigvuldiging:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a “
De vermenigvuldigende inverse van een breuk wordt gegeven door de breuk om te keren, omdat:
\ quad \ frac {p} {q} \ maal \ frac {q} {p} = \ frac {p \ maal q} {q \ maal p} = 1 dus \ left (\ frac {p} {q} \ right) “= \ frac {q} {p} (behalve voor p = 0).
Daarom wordt onze verdeling gegeven door:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ tijden \ frac {q} {p} = \ frac {n \ tijd s q} {m \ times p}
Voor een beginnende wiskundige beantwoordt dit de vraag, althans in de context van een veld. De echte (zuivere) wiskundige zal dan willen zien hoe ze verder kunnen generaliseren.
Anderen zullen meer geïnteresseerd zijn in het krijgen van het specifieke antwoord op de oorspronkelijke vraag door n = 3, m = 4, p = te instantiëren. 1, q = 4 om te krijgen:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Nog steeds niet helemaal 3, maar je kunt er komen met een beetje meer abstractie: een oefening die ik zal overlaten aan de geïnteresseerde lezer.
Overigens, voor die beginnende wiskundige, zou je willen controleren of we in het eindige veld \ mathbb F\_5 hebben:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 omdat \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4, en \ frac12 \ equiv3