Beste antwoord
Gegeven Rt Triangle, zijden 18, 24, 30; Vind straal van ingeschreven cirkel.
Kort antwoord; de formules van een ingeschreven cirkelradius in een Rt-driehoek zijn
Gebied / (1/2 omtrek)
Gebied is Hoogte X Halve Basis; dat wil zeggen
18 * 12 = 216
Omtrek is 18 + 24 + 30 = 72; en gedeeld door 2
72/2 = 36
Cirkelradius is 216/36 = 6 cm
Lang antwoord
Constructie:
Doorsnijden AC, en CA, op de kruising de locus controleren met de doorsnijding van BC, Het is oké dus laten we gaan… ..
Maak met een kompas en een potlood een cirkel die een zijde raakt, eromheen volgt en de andere 2 zijden raakt.
Labelkruising van AD en CE, O.
Van daaruit een loodlijn laten vallen naar elke kant bij P, bij Q en bij R.
Het snijpunt, O, staat op gelijke afstand van kanten AB, BC en AC. (Zie III hieronder)
I.
Beschouw de driehoeken, BPO en BRO.
Hoeken BO = BO (constructie).
Lijn BO is gemeenschappelijk voor beide driehoeken.
Hoeken RO = PO (Constructed Rt Angles).
Ergo driehoeken BPO en BRO zijn congruent.
Hieruit volgt de regel BP = BR.
Maar we weten dat BR = BC – r.
Dus BP = BC – r; of 24 – r.
Met hetzelfde argument kunnen we PA = AC -r: of 18 – r bewijzen.
Dus.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; en BP + PA = BA.
Conclusies combineren … BP + PA = (24 – r) + (18 – r) BA vervangen door BP en PA, en vereenvoudigen ….
Dus, BA = 42 – 2r.
Maar BA = 30 (gegeven). Vervanging voor BA.
30 = 42 – 2r… vereenvoudiging…. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Straal blijkt => 6 eenheden te zijn.
De rekenkunde schijnt te zijn,
Som van alle zijden, van deze reeks driehoeken, / 12 = Straal van ingeschreven cirkel.
18 + 24 + 30 = 72
Radius = 72/12 = 6.
Hoop dat het helpt.
Re ; formules in andere antwoorden, allemaal bedankt. Nieuw voor mij! … lol. Ik leer elke dag iets nieuws op Quora. Mijn favoriete is gebied / (0,5 * perimeter) = ingeschreven cirkelradius … .216 / 36 = 6 …
EDIT 6/26 / 17
III.
Op basis van de figuurconstructie,
Driehoeken BPO en BOR zijn congruent, hierboven bewezen. Ook APO en AOQ kunnen evenzo congruent blijken te zijn.
Ergo
Regels OP = OR en OQ = OP. Omdat OP gelijk is aan zowel OR als OQ, zijn deze gelijk aan elkaar, dat wil zeggen – OR = OQ. Bijgevolg is dit een bewijs dat het snijpunt van de halvering van de hoeken het midden van de figuur IS, een rechthoekige driehoek en op gelijke afstand van de drie zijden.
QED
Antwoord
Dank u voor het stellen van deze leuke vraag, meneer Lloyd – niet alleen het antwoord op uw vraag is een ja maar er zijn oneindig veel (vlakke ) driehoeken met de eigenschappen die u aanvraagt en, zoals blijkt, is het mogelijk om enkele van hen mooi te sorteren op de stralen van hun incircles op een dergelijke manier dat de genoemde stralen de reeks natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4 enz. volgen of overschaduwen.
Met andere woorden, door de komende discussie te gebruiken als een blauwdruk voor een mogelijk formeler bewijs, zullen we laat een mechanische manier zien om een driehoek te genereren waarvan de lengte van alle zijden hele getallen is en de lengte van de straal waarvan de ingesloten cirkel een geheel getal n is dat van tevoren is opgegeven.
Zijbalk: dit soort vragen veel te doen hebben met elementaire getaltheorie en heel weinig met geometrie te maken.
Een familie van (vlakke) driehoeken die gegarandeerd om meteen de gevraagde eigenschappen te hebben, zijn de zogenaamde Pythagoras-driehoeken – de rechter (voorlopig) driehoeken waarvan alle zijden hele getallen zijn.
Laten we het erover eens zijn dat de lengtes van de zijden van een pythagorische driehoek het geheel zijn, strikt positief, nummers a, b en c zodanig dat:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Laten we het er ook over eens zijn dat wanneer alle drie gehele getallen a, b, c zijn coprime, dan wordt de corresponderende Pythagorische driehoek primitief genoemd en laten we even aannemen dat we er op de een of andere manier in geslaagd zijn om zon primitieve driehoek a\_0 te vinden , b\_0, c\_0.
Omdat de relatie in ( 1 ) geen andere vrij zwevende termen heeft, volgt hieruit dat door alle getallen te schalen die een primitieve pythagorische driehoek met hetzelfde strikt positieve gehele getal k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
we zullen een nieuwe driehoek krijgen die zal zijn:
- ook Pythagoras
- niet primitief meer (voor k> 1)
- vergelijkbaar met zijn ouder primitieve pythagorische driehoek a\_0, b\_0, c\_0
- groter dan zijn ouder primitieve pythagorische driehoek a\_0, b\_0, c\_0
Het volgt dan dat er oneindig veel niet-primitieve pythagorische driehoeken bestaan die worden gegenereerd door een (enkele) gegeven primitieve pythagorische driehoek. Een bepaalde primitieve pythagorische driehoek is de kleinste in zijn familie omdat de lengte van de zijden niet verder kan worden verkleind. Geen twee verschillende primitieve driehoeken van Pythagoras zijn vergelijkbaar.
We merken terloops op dat we normaal gesproken niet werkeloos met wiskundige beweringen rondgooien – we bewijzen ze ter plekke, maar omdat de focus van dit antwoord niet de bewijzen is van de bovenstaande eigenschappen beschouwen we ze voorlopig als waar in het geloof (vraag afzonderlijk naar de relevante bewijzen indien geïnteresseerd).
Het is dus traditioneel van het eerste belang om de lengte van de zijkanten van primitief Pythagorische driehoeken omdat alle andere Pythagorische driehoeken kunnen worden gegenereerd uit hun primitieve tegenhangers, zoals hierboven uitgelegd.
Als oefening kunnen we dat laten zien een volledige parametrering van de oplossingen van ( 1 ) wordt gegeven door:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
waarbij m en n alle paren zijn van coprime gehele getallen van tegengestelde pariteit met m> n. De tegenovergestelde pariteit bit betekent dat een van deze getallen, het maakt niet echt uit welke, oneven moet zijn, terwijl de andere – even moet zijn.
Nogmaals, als u geïnteresseerd bent, stel dan een aparte vraag over waar komt ( 2 ) vandaan – we zullen u graag een aftrek van dit feit valt buiten de band om het huidige antwoord niet te vervuilen met te veel technische informatie.
Er bestaat een alternatieve parametrisering van de oplossingen van ( 2 ) die we hier ook weglaten.
Beschouw nu een willekeurige rechthoekige driehoek met de zijden a en b, de hypotenusa c en de inradius r (Fig. 1):
Als we de groene vergelijking toevoegen aan de blauwe vergelijking die wordt weergegeven in figuur 1 en de grijze vergelijking gebruiken voor x + y, dan zullen we vinden:
c + 2r = a + b \ tag * {}
vanwaar:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Stel nu dat het bovenstaande juist is De t-driehoek is een primitieve Pythagorische driehoek. Als we de waarden van a, b en c nemen van ( 2 ) en ze in ( 3 ) dan hebben we:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Hier vervallen de m ^ 2s en verdubbelen de n ^ 2s:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Als we 2n van de bovenstaande noemer buiten beschouwing laten, komen we uit op:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
dat wil zeggen dat:
r = n (mn) \ tag {4}
wat ons vertelt dat in elke primitieve pythagorische driehoek de lengte van zijn inradius is een geheel getal (vergeet de m> n-beperking niet, zie ( 2 )) omdat een verschil van twee gehele getallen is altijd een geheel getal en een product van twee gehele getallen is altijd een geheel getal.
Beschouw vervolgens een niet-primitieve k-driehoek – dat wil zeggen, beschouw een Pythagoras-driehoek waarvan de lengte van alle zijden is uniform opgeschaald met een strikt positief geheel getal k> 1. Omdat dergelijke lengtes in de vergelijking ( 3 ) als strikt lineaire termen binnenkomen, hoeven we alleen maar te vermenigvuldigen om de lengte van de overeenkomstige inradius te verkrijgen de RHS van ( 4 ) door k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Dus hoe dan ook, de lengte van de inradius van een Pythagorische driehoek is altijd een geheel getal omdat de objecten (de getallen) op de RHS van ( 4 , 5 ) altijd – een verschil van twee gehele getallen is altijd een geheel getal en een product van twee gehele getallen is altijd een geheel getal.
vergelijking ( 5 ) kan worden gelezen van rechts naar links . Dit betekent dat we de gehele getallen k, m, n als invoer kunnen nemen en vervolgens ( 5 ) kunnen gebruiken om een integrale inradius als uitvoer te genereren.
Laten we nu proberen om in de tegenovergestelde richting te gaan – laten we kijken of we een bestelling kunnen plaatsen op de lengte van een inradius en op basis van die informatie de lengtes van de corresponderende Pythagoras-driehoek kunnen achterhalen.
Blijkbaar is Pythagoras zelf vele jaren geleden erin geslaagd om een gedeeltelijke parametrering te produceren van de oplossingen van ( 1 ) door de pythagorische driehoeken te bestuderen waarvan de lengte van de korte zijden een opeenvolging van opeenvolgende oneven natuurlijke getallen a = 2n + 1 vormt.
In dat geval, om de relevante getallen heel te houden de lengte van de zijde b en de lengte van de hypotenusa c van een mysterie Pythagorische driehoek moet een eenheid verschillen: c = b + 1. Dus, from ( 1 ) hebben we:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Bovenstaande haakjes openen:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
we zien dat de b ^ 2s en de 1s het volgende opheffen:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
wat wil zeggen dat:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Deze waarden terugplaatsen in ( 3 ) ontdekken we dat:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Is dat niet leuk?
Dus – de sorteerreferentie.
Met andere woorden, als u ons een willekeurig natuurlijk getal n> 0 geeft, kunnen we een Pythagoras-driehoek genereren die precies de eigenschappen heeft die u vraagt:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
wat betekent dat de bovenstaande formulesfamilie de integrale lengte van de inradius van een driehoek opsomt met de integrale lengtes van de zijden via de set van natuurlijke getallen \ mathbb {N}.
Het betekent ook dat we van tevoren een computerprogramma kunnen schrijven in bijvoorbeeld de programmeertaal C als medium die de gevraagde driehoeken op aanvraag zullen genereren:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Ervan uitgaande dat we de bovenstaande code in het ptr.c bestand hebben opgeslagen, bouw het dan als volgt:
gcc -g - o ptr ptr.c
en voer het als volgt uit:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
waar we voor een goedkope sensatie dramatisch de hypotenusa van lengte 365 hebben opgenomen.
Ons programma accepteert een aantal natuurlijke getallen van de opdrachtprompt en voor elk van deze getallen genereert het een PythagorasDriehoek waarvan de lengte van de zijden garandeert dat de lengte van de inradius van die driehoek gelijk is aan het ingevoerde natuurlijke getal n.
Het formaat van onze uitvoer is: de eerste kolom toont de waarde van de inradius n, de tweede kolom toont de waarde van a, de derde kolom toont de waarde van b en de vierde kolom toont de waarde van c.
Bovendien is het gebied S van onze Pythagorische driehoeken:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
is ook gegarandeerd een geheel getal omdat het invoegen van de waarden van a en b van ( 2 ) naar ( 9 ), vinden we:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
wat altijd een geheel getal is.
Ten slotte is de situatie met willekeurige, lees – niet juist, driehoeken delicater.
Als we zon driehoek strak verdelen in drie kleinere driehoeken, zonder gaten en zonder overlappingen, zoals hieronder getoond (Fig.2):
dan, omdat in dit geval het geheel gelijk is aan de som der delen, voor het gebied S van zon driehoek hebben we:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
dat wil zeggen:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
als we het ermee eens zijn dat P is de complete omtrek van de driehoek en die p is de semiperimeter van de driehoek.
Hieruit volgt dat we voor de waarde van de inradius r hebben:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Dus, wil r een geheel getal zijn, dan moet ofwel P een geheel getal 2S delen of p een geheel getal delen S.
Laten we omwille van het argument afspreken planaire niet te noemen rechthoekige driehoeken waarvan alle zijden gehele getallen zijn en waarvan de oppervlakte een geheel getal is Diophantine .
Nu bestaan er (samengestelde) Diophantische driehoeken zodanig dat:
- ze zijn compo sed van twee Pythagoras driehoeken langs één gemeenschappelijke zijde en
- de lengte van hun inradius is niet een geheel getal
Bewijs: de oppervlakte van de 5, 5, 6 samengestelde Diophantijnse driehoek, die is samengesteld uit twee 3,4,5 Pythagorische driehoeken langs de b = 4-zijde, is 12, terwijl de lengte van de semiperimeter 8 is. Maar 8 is geen integer-deel 12. \ blacksquare
Daar bestaan (samengestelde) Diophantische driehoeken zodanig dat:
- ze een compositie zijn van twee Pythagorische driehoeken langs één gemeenschappelijke zijde en
- de lengte van hun inradius is een geheel getal
Bewijs: het gebied van de 13,14, 15 samengestelde diophantische driehoek, die is samengesteld uit twee pythagorische driehoeken 5,12,14 en 9,12,15 langs de b = 12-zijde, is gelijk aan 84, terwijl de semiperimeter gelijk is aan 42. Maar 42 doet een geheel getal delen 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Er bestaan (niet-composiet?) Diophantische driehoeken zodanig dat:
- ze niet kunnen worden samengesteld uit twee Pythagorische driehoeken maar
- de lengte van hun inradius is een geheel getal
Bewijs: de oppervlakte van de 65,119,180-driehoek is gelijk aan 1638, terwijl de semiperimeter 182 is. Maar 182 doet integer-gedeeld 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
In een kandidaat-rechthoekige driehoek met de zijden a en b is tweemaal de oppervlakte 2S gelijk aan het product van a en b, zie ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Daarom moeten beide nummers a en b 2S delen.
Is dit het geval met onze driehoek?
Nee.
Geen van de lengtes van de zijden van onze driehoek deelt de grootte gelijk aan 1638 \ cdot 2.
Dit is waarom: de priemfactorisatie van 1638 \ cdot 2 is gelijk aan 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
De priemfactoren van de lengtes van de zijden van onze driehoek zijn :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Daarom kan de lengte van geen hoogte van onze driehoek worden uitgedrukt als een geheel (natuurlijk) getal en dus kan een dergelijke diophantische driehoek niet samengesteld uit twee pythagorische driehoeken langs een gemeenschappelijke zijde die de rol moeten spelen van de hoogte van de doeldriehoek. \ blacksquare
We zien dat om een allesomvattende uitspraak te doen over de lengte van de inradius van een diophantische driehoek, we de situatie nauwkeuriger moeten analyseren en, naar alle waarschijnlijkheid, kijken naar rationele driehoeken .
Ik hoop dat ik onze discussie niet te ingewikkeld heb gemaakt, maar het is wat het is – meestal elementaire getaltheorie.