Beste antwoord
Allereerst \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Nu zal ik de vierkantswortelfunctie voorstellen aan de hand van de Taylor-reeks. Ik zal deze Taylor-serie ongeveer 16 berekenen, gewoon om veilig te zijn voor vervelende convergentiestralen. Vervolgens zal ik \ sqrt {20} benaderen door x = 20 in de reeks in te stellen.
De definitie van de Taylor-reeks van elke willekeurige functie f \ left (x \ right) is als volgt:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Hier geeft f ^ {\ left (n \ right)} de nde afgeleide van f aan. We zullen veel afgeleiden moeten berekenen en hopelijk zal er een enigszins gemakkelijk merkbaar patroon zijn.
f \ left (x \ right) zal hierna \ sqrt {x} aanduiden.
De “nul” afgeleide van f is gewoon f. Ik heb f \ left (16 \ right) als de coëfficiënt van de eerste term in de reeks. (Onthoud dat ik besloot de Taylor-serie te centreren rond 16 . De vierkantswortel van 16 is eenvoudig genoeg – het zijn maar 4 . Vier vieren zijn 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Oké. Het wordt een beetje een uitdaging. We moeten nu de afgeleide van \ sqrt {x} berekenen.
De Power Rule zegt dat \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. In dit geval n = \ frac {1} {2} (gegeven dat \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Daarom \ frac {\ tekst {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {X}}. De volgende coëfficiënt van de reeks is daarom \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} of gewoon \ frac {1} {8}.
De volgende term in de Taylor-reeks is daarom f “\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} of gewoon \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Hier is de gedeeltelijke som tot dusver:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Oké. Nu, we moeten de seconde afgeleide van f \ left (x \ right) berekenen, of gewoon de afgeleide van \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Dit vereist het gebruik van de kettingregel omdat we de ene functie in een andere hebben samengesteld. Een functie wordt hierna aangeduid met g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, en de andere wordt hierna aangeduid met h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. De functie waarvan we de afgeleide willen vinden is: f “\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Met andere woorden, we willen de afgeleide vinden van g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
De kettingregel zegt dat \ frac {\ text {d}} {\ tekst {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g “\ left (h \ left (x \ right) \ right) h” \ left (x \ right).
De afgeleide van g \ left (x \ right) is – \ frac {1} {x ^ 2} (volgens de machtsregel). De afgeleide van h \ left (x \ right) is \ frac {1} {\ sqrt {x}} (volgens de machtsregel en de eigenschap die \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf “\ left (x \ right)).
Nu hebben we dat \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. De derde coëfficiënt in de reeks is daarom – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (of eenvoudiger – \ frac {1} {256}).
De derde term in de reeks is: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
De volledige gedeeltelijke som tot dusver:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Ik ga nu verder met het berekenen van de vierde afgeleide van f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
De vierde term in de reeks is \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
De som heeft nu vier termen:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} + \ cdots
Als we doorgaan met dit patroon, krijgen we het volgende patroon van coëfficiënten:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Dit is het moment om een patroon te vinden en het reeks met een expliciete formule.
De n-de noemer kan worden weergegeven door b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) wat vereenvoudigt to b\_n = 2 ^ {5n-2} (met de beginwaarde van n als 0). Dat was gemakkelijk. Hoe zit het met de tellers?
Hier is de reeks tellers (het negeren van tekenwijzigingen, daar wordt later voor gezorgd):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Het patroon van de tellers is vrij eenvoudig. Neem 945 en deel het door 105. Je krijgt 9. Neem vervolgens 105 en deel dat door 15. Je krijgt 7. Vervolg: 15 gedeeld door 3 is 5, 3 gedeeld door 1 is 3 en 1 gedeeld door 1 is 1. Het gaat hier om producten met oneven nummers.
De \ left (n + 2 \ right) term in de reeks tellers (exclusief afwisseling) is daarom:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
De formule voor de tellers is in de vorm van pi-notatie. Het zou beter zijn als het op de een of andere manier wordt uitgedrukt in de factoriële notatie.
Als we het product van de eerste 2n + 2 gehele getallen delen door het product van de even gehele getallen van 2 tot 2n, krijgen we product van de oneven gehele getallen van 1 tot 2 n + 1. Met andere woorden:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nu kunnen we de pi-notatie verwijderen en deze vervangen door een kleinere, elegantere uitdrukking. Zoals je kunt zien, wordt de 2 in de term n + 1 keer met zichzelf vermenigvuldigd. Dus we kunnen de 2 eruit trekken, deze voor de hoofdletter pi plaatsen en vervolgens de 2 verhogen tot de macht n + 1. Dat geeft ons:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
De bovenstaande vergelijking kan eenvoudiger worden geschreven als:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Het is je misschien al opgevallen dat de reeks die wordt gegeven door de uitdrukking direct hierboven twee termen afwijkt. Om dit probleem op te lossen, hoeven we alleen maar alle n in de noemerformule te vinden en ze bij 2 op te tellen. We zullen hetzelfde moeten doen met de rest van de termen met machten van x.
De noemerformule is tenslotte 2 ^ {5n + 8}.
Aangezien we de reeks hebben verschoven, moeten we nog steeds degenen die zijn uitgesloten, ergens in de uitdrukking opnemen. Er zullen andere termen zijn die vóór de sigma-notatie in de uitdrukking verschijnen. Deze termen zijn 4 en \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
De coëfficiënt van elke term in de reeks is:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
wat vereenvoudigt tot:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Dat is de formule voor de n-de coëfficiënt voor de reeks (dit sloot de eerste twee termen uit omdat die termen fouten zouden veroorzaken in de formule voor t\_n).
We kunnen nu beginnen met schrijven de sigma-notatie (onthoud dat we de reeks hebben verschoven om de pittige termen te verwijderen, dus er zullen enkele dingen vooraan in de sigma-notatie staan).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Het is een afwisselende reeks die begint met een negatief, dus we zullen de termen moeten vermenigvuldigen met de (n + 1) de macht van -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Opgeschoond:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
We hebben nu de Taylor-serie voor deze zogenaamde “vierkantswortel” -functie, wat zeker niet een ding is op rekenmachines. Nu hoef je alleen nog maar de vierkantswortel van twintig te benaderen met behulp van de taylor-reeks die we net hebben bedacht.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Vereenvoudigd:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Ik typte de bovenstaande uitdrukking in Desmos en verving \ infty door 15. Desmos evalueerde de som. Dus de vierkantswortel van twintig is ongeveer 4.472135955.
Ik ging diep in op dit antwoord omdat het anders saai genoeg zou zijn.
Iedereen die internet kan gebruiken, heeft toegang tot zelfs de meest wetenschappelijke rekenmachines. De vierkantswortelfunctie staat altijd 24/7/365 voor je klaar. Dankzij dat feit zal ik “mijn antwoord controleren.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Bedankt voor het lezen.
Antwoord
Laten we eens proberen zonder rekenmachine .
Zoek het getal waarvan het vierkant net minder is dan 20, het is 4.
Vind er een waarvan het vierkant net boven de 20 is , het is 5.
Dus, 4 qrt (20)
Bereken eens, dat is geïdentificeerd, het gemiddelde van deze twee getallen, dat is 4,5
AM ≥ GM en GM = √4 * 5 = √20.
Daarom hebben we √20 .5
Dus, 4 qrt (20) .5
Bereken 4,5 vierkant … 4 * 5 + 0,25 = 20,25 …
Het is gewoon een beetje hoog …
Dus het antwoord zou rond de 4,5 moeten zijn, maar niet in de buurt van 4 .
Laten we nu proberen het correcter te vinden.
Neem f (x) = sqrt (x)
f “(x) = o.5 / sqrt (x)
Nu, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Neem ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f “(x)
(Taylors reeks afgekapt tot eerste orde of je kunt Newton Raphson-methode)
Nu we x en ∆x vervangen, hebben we,
f (20) = 4.5 -0.25 * 0.5 (1 / 4.5)
= 4.5 – (1/4) (1/9) = 4.5 – .1111 / 4
= 4.5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4.5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
Vandaar, sqrt (20) ~ 4.472225
En dit is wat Google als antwoord bood.
Dus ons antwoord is niet zo slecht !!