Beste antwoord
Een pseudovector is een object dat, net als een vector, een grootte en een richting heeft en kan worden geschreven in coördinaten ten opzichte van een gekozen set coördinaatassen, en gedraagt zich als een vector wanneer het fysieke systeem geroteerd is; maar bij reflectie of omkering van het fysieke systeem, gedraagt de pseudovector zich anders van een vector.
Het meest voor de hand liggende voorbeeld van een pseudovector is hoeksnelheid. Hoeksnelheid, meestal geschreven als een vector, heeft inderdaad een grootte en een richting. Bij reflectie of inversie gedraagt het zich echter anders dan de lineaire snelheid, wat een echte vector is. Bekijk het volgende diagram [ source ] om dit te zien:
De auto links rijdt van je weg, dus als je uitrekent in welke richting de wielen draaien, zie je dat de hoeksnelheid naar links wijst. Stel je nu voor dat je de auto weerkaatst over het vlak dat wordt aangegeven door de stippellijn. De hoeksnelheid wijst nog steeds naar links.
Overweeg nu een voetganger te joggen, met een snelheid tot de links. Onder reflectie beweegt de voetganger nu naar rechts, dus de snelheid wijst nu rechts .
Daarom: de lineaire snelheid ondergaat altijd een reflectie wanneer een fysisch systeem wordt gereflecteerd, maar de hoeksnelheid niet. De hoeksnelheid gedraagt zich niet als de lineaire snelheid (een echte vector) onder reflectie. Zo kun je zien dat het eigenlijk een pseudovector is.
Meer precies, onder een reflectie of omkering ondergaat een pseudovector altijd een extra inversie vergeleken met een vector. In het bovenstaande voorbeeld, om het beeld van de hoeksnelheid onder reflectie te bepalen, moet je het eerst reflecteren als een normale vector (dus het wijst nu naar rechts) en vervolgens moet je alle drie de componenten omkeren (waardoor het naar links). Deze extra inversie onderscheidt pseudovectoren van vectoren.
Alle pseudovectoren in de klassieke mechanica zijn afgeleid van het toepassen van de rechterhandregel, in de vorm van een kruisproduct of een krul. De grootheden die ze vertegenwoordigen worden natuurlijk beschreven door rang-2 antisymmetrische tensoren, die zich voordoen als vectoren via Hodge-dualiteit — maar de Hodge-dualiteit besmet ze, dus eindigen ze als pseudovectoren in plaats van vectoren. Voor meer wiskundige details, zie: Brian Bis antwoord op Hoe wordt rechtshandigheid verzekerd voor coördinatensystemen in dimensies groter dan drie?
We kunnen snel de meest voorkomende voorbeelden van pseudovectoren opsommen door te overwegen wanneer de juiste -handregel wordt gebruikt:
- Hoeksnelheid
- Hoekversnelling
- Hoekmomentum
- Koppel
- Magnetisch veld
- Magnetisch dipoolmoment
Daarentegen zijn de volgende grootheden ware vectoren:
- Lineaire snelheid
- Lineaire versnelling
- Lineair momentum
- Kracht
- Elektrisch veld
- Elektrisch dipoolmoment
- Magnetische vector potentieel
Het is een goede oefening om jezelf ervan te overtuigen dat deze classificatie correct is voor de voorbeelden in de elektrodynamica, door ladings- en stroomconfiguraties voor te stellen en ze vervolgens weer te geven of om te keren.
Antwoord
Ervan uitgaande dat u weet hoe u de eigenwaarden en eigen vec moet berekenen tors van een geef matrix. Ik zal proberen de intuïtie achter de eigenvectoren uit te leggen.
Je hebt bijvoorbeeld een matrix van datapunten in een n-dimensionale ruimte waar n een zeer hoge waarde is. (Probeer je een reeks punten voor te stellen die bij elkaar zijn gebundeld zonder dat er een verband tussen hen bestaat). Dus uw datapunten of uw waarnemingen zijn zeer dimensionaal. Als dat het geval is, is het absoluut noodzakelijk dat er een soort ruis in uw gegevens zit. Als je deze ruis wilt verminderen, wil je misschien je gegevens projecteren in een nieuwe ruimte die de ruis minimaliseert.
Deze ruimte wordt de eigenruimte genoemd en de vectoren of de assen van deze ruimte worden eigen vectoren en wat de lengte van de assen bepaalt, zijn de eigenwaarden.
Dus als je je originele matrix op deze ruimte projecteert, hebben de datapunten van je originele matrix de neiging om gehecht / uitgelijnd te raken met de assen van deze ruimte. Daardoor wordt de ruis verminderd en krijgt u de belangrijkste componenten in uw gegevens die orthogonaal gescheiden zijn.
Laten we een lekentaal nemen. Beschouw mensen die in een stad wonen en je zou willen weten wie van die mensen houdt van jazz pop rock indie enz. Stel je de mensen in deze stad voor als de datapunten. Stel je voor dat je een heel rijk persoon bent en graag geld uitgeeft.Op een mooie dag krijg je een idee om populaire muzikanten in te schakelen die het beste zijn in die genoemde soorten muziek. Als ze eenmaal naar je stad komen, kondig je het aan aan de mensen en je houdt deze muziekevenementen op plaatsen die door grote afstanden in 4 verschillende kwadranten van elkaar gescheiden zijn en raad eens wat er zal gebeuren? Mensen die van een soort muziek houden, gaan naar dat evenement. Het idee is dat de datapunten (mensen) worden afgestemd / aangetrokken tot wat ze leuk vinden. Dit maakt het voor u gemakkelijker om mensen in groepen te clusteren.
In het bovenstaande voorbeeld zijn de mensen in de stad de originele matrix. De muzikanten zijn de eigenvectoren en op de dag van het evenement werden de mensen (originele matrix) geprojecteerd op de ruimte die de muzikanten in de stad hadden gecreëerd. (De eigen ruimte)
Op deze manier werden de gelijkaardige mensen samengepakt.