Beste antwoord
De term “puntenset” heeft geen standaard wiskundige definitie, voor zover ik weet. De zin “Laat X een puntenset zijn” is zinloos. In “point-set-topologie” is de uitdrukking “point-set” een bijvoeglijk naamwoord dat “topologie” wijzigt, in tegenstelling tot “algebraïsche topologie” of “differentiële topologie”.
- Point-set topologie bestudeert potentieel pathologische topologische ruimtes vanuit een in wezen set-theoretisch oogpunt.
- Algebraïsche topologie gebruikt homologische algebra om passend mooie continue ruimtes te analyseren.
- Differentiële topologie gebruikt calculus om vloeiende spaties te bestuderen.
De modifier “point-set” voor topologie geeft daarom aan dat u mogelijk werkt in een context waarin uw spaties zijn niet geschikt om te studeren via continue of differentieerbare methoden.
Antwoord
Een regel kan worden gezien als bestaande uit punten, maar ik weet niet zeker of dit de beste manier is om erover na te denken. En ik ben er vrij zeker van dat je moet vermijden te zeggen dat een lijn “bestaat uit” punten, omdat geen van beide fundamenteler is dan de andere.
In axiomatische meetkunde zijn lijnen en punten verschillende fundamentele entiteiten. Twee lijnen kruisen elkaar op een punt en er is een strikte volgorde van verschillende punten op een bepaalde lijn. Een interessant kenmerk van projectieve meetkunde is de symmetrie tussen punten en lijnen: er is een formele dualiteit tussen hen. Die verklaring over twee lijnen die op een punt samenkomen, is formeel gelijk aan de dubbele: twee punten definiëren een lijn. In de dubbele weergave is een punt “opgebouwd uit” lijnen.
Wat betreft de kardinaliteit van de punten op een lijn: dit hangt af van de constructies die je toestaat. Met de traditionele “ongemarkeerde liniaal en kompas” is er slechts een telbaar aantal punten dat we op een lijn kunnen bereiken. Door limieten van reeksen van punten in het algemeen toe te staan, kunnen we elk punt op de regel met reële getallen bereiken, die de ontelbare kardinaliteit van het continuüm heeft. Maar er is geen specifieke reden om daar te stoppen: we kunnen bijvoorbeeld de surreële getallenlijn construeren waar verschillende punten oneindig dichtbij kunnen zijn en er zijn er onbewust veel van (meer dan ontelbaar!).