Beste antwoord
Vanuit theoretisch probabilistisch oogpunt is een willekeurig veld een familie van willekeurige variabelen die zijn geïndexeerd door een verdeelstuk.
Laat me het uitleggen:
Een stochastisch proces is een familie van willekeurige variabelen \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, waarbij voor elke t, X (t) is een willekeurige variabele, en t varieert in de set T genaamd de indexset. Theoretisch legt de definitie geen enkele beperking op de indexset T, het kan elke set zijn. Als we echter het stochastische proces zeggen, denken we 99\% van de tijd in feite t als de tijd, daarom moet T de echte lijn zijn of de verzameling gehele getallen of een deel daarvan.
Wanneer dit is meestal niet het geval, wanneer T feitelijk een hoger dimensionale Euclidische ruimte is of een deel ervan, of iets dergelijks (een “spruitstuk”), dan is \ {X (t) \} \_ {t \ in T} een willekeurig veld genoemd. Het idee is dat, aangezien de index niet langer eendimensionaal is, we het niet als tijd kunnen denken, dus we denken het als ruimte. Als gevolg hiervan krijgen we geen “proces”, maar een “veld”. We krijgen dus een willekeurig oppervlak of een willekeurige multivariate functie.
Antwoord
Een willekeurige variabele wordt gedefinieerd als een meetbaar function
X: \ Omega \ mapsto \ R
Waar \ Omega een Waarschijnlijkheidsruimte – Wikipedia .
Maak je niet zoveel zorgen over het meetbare deel; het belangrijkste punt dat ik hier wil maken is dat, met name in wiskunde en natuurkunde, er een soort gelijkwaardigheid bestaat tussen functies en variabelen .
Een veelgebruikte vorm van de kettingregel uit Calculus zegt bijvoorbeeld:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
maar dit heeft alleen zin als y impliciet een functie is van u en u is impliciet een functie van x. Bovendien, aan de linkerkant vertegenwoordigt y feitelijk (en impliciet) de samengestelde functie y = y (u (x)).
Je ziet dit soort functie-als-variabele notatie ook de hele tijd in differentiaalvergelijkingen. Wanneer iemand bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking schrijft zoals
y “= y
,” is het eenvoudig begrepen dat y is een functie op een niet-gespecificeerd domein, dwz y = y (x), en dat y “staat voor de functie \ frac {dy} {dx}, en de = teken betekent gelijkheid van functies. Dat “een hoop instellingen zijn in die notatie ingebouwd!
Ik noem dit omdat willekeurige variabelen precies werken op dezelfde manier. We schrijven X, maar dit symbool verwijst naar een -functie X (\ omega). Een willekeurige variabele is een functie waarvan het domein een waarschijnlijkheidsruimte is. De waarschijnlijkheidsruimte is bijna nooit expliciet in de notatie, maar het moet wel in de context worden gedefinieerd.
Wat betreft waarom het “willekeurig” wordt genoemd, dat is gewoon het woord dat we gebruiken voor dingen die afhankelijk van een kansruimte. Als ik zeg “tel 1 voor koppen, -1 voor muntstukken”, heb ik zowel een kansruimte \ Omega = \ {koppen, muntstukken \} gedefinieerd (vermoedelijk met de uniforme verdeling), en een willekeurige variabele X (koppen) = 1, X (staarten) = – 1. Het symbool X duidt geen reëel getal aan, maar eerder een functie met een “willekeurig” domein, waarbij “willekeurig” losjes kan worden gedefinieerd als “met een bekende verdeling van uitkomsten”.