Beste antwoord
Dit is een goed moment om te laten zien hoe wiskunde werkt door een intuïtief maar vaag concept te nauwkeurig door slimme definities.
Wat moeten we bedoelen met het tegenovergestelde? Het is redelijk om te bedoelen dat wanneer we een bewerking uitvoeren \ vee (noem het wat je wilt, banaan is bijvoorbeeld een goede naam) op x en het tegenovergestelde x ^ *, het resultaat zou een banaanneutraal element n moeten zijn. Dat wil zeggen, x en “anti-x” zouden elkaar moeten opheffen zodat x \ vee x ^ * = n. Merk op dat we momenteel helemaal niet veel weten over banaan, behalve deze formele eigenschappen. Het concept dat n neutraal is, zou in deze zin moeten betekenen dat we voor elke y y \ vee n = y zouden moeten hebben, dat wil zeggen, n heeft geen effect op y wanneer banaan op beide wordt toegepast.
Dit concept van tegengesteldheid is een fundamentele in de wiskunde, en de meest voorkomende naam voor x ^ * is de inverse van x met betrekking tot de bewerking \ vee.
Wanneer \ vee de gewone optelling + van getallen, x ^ * wordt aangeduid met -x, aangezien x + (- x) = 0 het neutrale element is. Inderdaad, voor elke y, y + 0 = y. Dus in dit geval is het tegenovergestelde van 0 -0, wat zelf 0 is!
Als \ vee vermenigvuldiging is, is het neutrale element 1 (waarom?). Dan heeft 0 geen tegengestelde, aangezien geen getal maal nul één is. Er zijn contexten waarin wiskundigen een vermenigvuldigingsfactor bedenken die tegengesteld is aan 0, en ze noemen het meestal \ infty, wat een beetje logisch is.
Antwoord
Dit was eerder het onderwerp van enige discussie geweest in de wiskundige gemeenschap totdat Donald Knuth dingen recht zette in 1992, dus het is begrijpelijk dat er enige verwarring blijft hangen, maar de moderne conventie is om 0 ^ 0 = 1 te definiëren, en dat is niet voor niets.
Wat betekent 0 ^ 0 gemeen? Misschien is je geleerd dat een nulde macht wordt berekend door een n-de macht te delen door een n-de macht (n> 0); dat helpt niet in het geval van 0 ^ 0, en leidt ertoe dat sommige mensen 0 ^ 0 associëren met het ongedefinieerde quotiënt \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Deze mensen hebben zich niet gerealiseerd dat 0 ^ 2 perfect gedefinieerd is en niet kan worden geassocieerd met het ongedefinieerde quotiënt \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – we kunnen niet bewijzen iets door een deling door nul te introduceren waar er voorheen geen bestond.
Maar we hoeven helemaal geen beroep te doen op deling:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Als ik al je appels n keer (n> 0) wegneem , je hebt geen appels meer; maar als ik al je appels 0 keer weghaal, heb je nog steeds al je appels. Kort gezegd is 0 ^ 0 = 1 een geval van het lege product , net als 0! = 1.
Waarom duurde het dan zo lang voordat het geaccepteerd werd? Het schijnbare probleem is dat de beperkende vorm 0 ^ 0 een onbepaalde vorm is, in die zin dat \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ tot a} g (x) = 0 geeft je geen informatie * over de limiet \ textstyle \ lim\_ {x \ tot a} f (x) ^ {g (x)}: het kan elk niet-negatief zijn reëel getal, \ oneindig, of bestaat mogelijk niet, afhankelijk van de specifieke functies. Dit leek meer dan een eeuw in strijd te zijn met de simpele intuïtie hierboven. Maar het belangrijkste besef is dat de onbepaalde beperkende vorm 0 ^ 0 belet ons niet om een definitie toe te wijzen aan de waarde 0 ^ 0 . Ze zijn niet hetzelfde object: de beperkende vorm 0 ^ 0 is slechts een afkorting voor de bovengenoemde limiet, en de onbepaaldheid ervan betekent alleen dat machtsverheffen geen continue functie kan zijn in elke buurt van (0, 0).
Dit zou niet al te verrassend moeten zijn: bijvoorbeeld, \ lfloor 0 \ rfloor is ook een onbepaalde vorm (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor bestaat niet, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), maar we schrijven nog steeds \ lfloor 0 \ rfloor = 0 als een waarde.
En dus kennen we nu 0 ^ 0 de waarde toe die nuttig is, namelijk 1. Waarom is dat nuttig? Omdat we hiermee exponentiële gegevens kunnen manipuleren zonder speciale gevallen toe te voegen.
- Als \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n een polynoom is, dan is p (0) = a\_0 de constante term – maar we kunnen niet eens een polynoom op deze voor de hand liggende manier schrijven, tenzij 0 ^ 0 = 1. Hetzelfde geldt voor oneindige machtreeksen, waarbij d wordt vervangen door \ oneindig.
- De evaluatie van de oneindige geometrische reeks : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} dus \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. is volledig geldig (en zelfs continu) voor | x | , inclusief op x = 0, maar vereist 0 ^ 0 = 1.
- De binominale stelling (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k geldt zelfs als a = 0 of b = 0, maar vereist 0 ^ 0 = 1.
- De machtsregel \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) geldt zelfs voor n = 1 op x = 0, maar vereist 0 ^ 0 = 1.
- Het antwoord van Jack Huizenga geeft nog een voorbeeld: het aantal functies f \ dubbele punt S \ to T is \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, maar alleen als 0 ^ 0 = 1.
- In de Kerkgetal codering van de naturals, machtsverheffen is slechts een functie-applicatie en 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* De betekenis waarin 0 ^ 0 een onbepaalde vorm is, is zwakker dan voor andere onbepaalde vormen. Voor complexe analytische functies f, g met \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, we hebben altijd \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, tenzij f identiek nul is (in welk geval de limiet niet bestaat).
Donald Knuth geeft in wezen hetzelfde antwoord in “ Two notes on Notation ” (1992, p. 6), samen met historische achtergrond:
Het artikel [33] van [Libri] produceerde echter verschillende rimpelingen in wiskundige wateren toen het oorspronkelijk verscheen, omdat het een controverse veroorzaakte over de vraag of 0 ^ 0 wordt gedefinieerd. De meeste wiskundigen waren het erover eens dat 0 ^ 0 = 1, maar Cauchy [5, pagina 70] had 0 ^ 0 samen met andere uitdrukkingen zoals 0/0 en \ infty – \ infty in een tabel met ongedefinieerde vormen vermeld. Libris rechtvaardiging voor de vergelijking 0 ^ 0 = 1 was verre van overtuigend, en een commentator die zijn naam simpelweg S ondertekende, kwam in de aanval [45]. August Möbius [36] verdedigde Libri door de reden van zijn voormalige professor te presenteren om aan te nemen dat 0 ^ 0 = 1 (eigenlijk een bewijs dat \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius ging ook verder en presenteerde een verondersteld bewijs dat \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 wanneer \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ tot 0 ^ +} g (x) = 0. Natuurlijk vroeg “S” toen [3] of Möbius wist van functies zoals f (x) = e ^ {- 1 / x} en g (x) = x. (En papier [36] werd stilletjes weggelaten uit het historische verslag toen de verzamelde werken van Möbius uiteindelijk werden gepubliceerd.) Het debat stopte daar, blijkbaar met de conclusie dat 0 ^ 0 niet gedefinieerd zou moeten zijn.
Maar nee , nee, tienduizend keer nee! Iedereen die de binominale stelling \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} wil behouden gedurende ten minste één niet-negatief geheel getal n moet geloven dat 0 ^ 0 = 1, want we kunnen x = 0 en y = 1 aansluiten om 1 aan de linkerkant en 0 ^ 0 aan de rechterkant te krijgen.
Het aantal toewijzingen van de lege set naar de lege set is 0 ^ 0. Het moet zijn 1.
Aan de andere kant had Cauchy goede redenen om 0 ^ 0 als een ongedefinieerd beperkende vorm , in die zin dat de grenswaarde van f (x) ^ {g (x)} niet bekend is a priori wanneer f (x) en g (x) onafhankelijk van elkaar 0 benaderen. In deze veel sterkere zin is de waarde van 0 ^ 0 minder gedefinieerd dan bijvoorbeeld de waarde van 0 + 0. Zowel Cauchy als Libri hadden gelijk, maar Libri en zijn verdedigers begrepen niet waarom de waarheid aan hun kant stond.