Beste antwoord
Rationale getallen zijn relatief eenvoudig. Ze zijn een geordend paar gehele getallen (m, n) met n \ neq0 onder de equivalentierelatie:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Wat? Dat zou eenvoudig moeten zijn? Wel, ja. Al die gelijkwaardigheid was alleen maar om ervoor te zorgen dat de helft de helft was, of het nu (1,2) of (2,4) of zelfs (-33, -66) was. En het zou allemaal meer vertrouwd aanvoelen als ik dat zou schrijven als \ frac12 = \ frac24 in plaats van (1,2) \ equiv (2,4) omdat 1 \ times4 = 2 \ times2. Maar strikt genomen, dat is waar een strikte definitie van rationale getallen mee begint.
Nu de gemakkelijke dingen zijn afgehandeld, wat is een reëel getal? Ondanks hun naam en hun alomtegenwoordigheid zijn echte getallen eerder gecompliceerde beesten. Misschien is de eenvoudigste constructie die naar onze intuïtie verwijst die van Dedekind bezuinigingen . Een Dedekind-opsplitsing van de Rationale getallen, \ Q, is een partitie in twee niet-lege sets (A, B) zodat A \ cup B = \ Q, elk element van A strikt kleiner is dan elk element van B, en A heeft geen grootste element. Ik weet het, je hoofd draait al, maar de idee is heel eenvoudig: we knippen op een gegeven moment gewoon de getallenlijn door – alle rationale getallen aan de linkerkant staan in A en alle rationale getallen aan de rechterkant (of op het punt) zijn in B. Als B een minimaal element heeft, was onze cut op een Rationaal getal. Als B niet een minimaal element heeft, was onze cut op een Irrationeel getal. De volgende vertegenwoordigen s de Dedekind cut voor de vierkantswortel van twee (een irrationeel getal):
(Bron: Bestand: Dedekind cut- vierkantswortel van two.png – Wikipedia )
Hoe dan ook, de cut, (A, B), vertegenwoordigt een reëel getal. Aangezien B = \ Q \ setmin A, kunnen we een Reëel getal vertegenwoordigen door A zelf: een niet-lege set van Rationale getallen die hieronder wordt gesloten en geen grootste element heeft. In zekere zin vullen de irrationele reële getallen de hiaten in de rationale getallen.
Een probleem met deze intuïtie van hiaten is dat de rationale getallen dicht zijn in de reële getallen – tussen twee verschillende reële getallen er is een Rationeel (in feite oneindig veel Rationals). Deze kan je doen denken dat er minstens evenveel Rationale getallen zijn als irrationele getallen. Maar nee, de kardinaliteit van de set van irrationele getallen is strikt groter dan die van de set van rationale getallen. Op de een of andere manier wordt het reële getal “aan het einde” van de reeks A van rationale getallen vergezeld door een groot aantal andere reële getallen die ik niet helemaal kan beschrijven in relatie tot de reeks A. Zoals ik al zei, zijn reële getallen gecompliceerde beesten: de meeste van hen kunnen “zelfs niet worden beschreven ondanks hun veronderstelde” realiteit “.
Ik zinspeelt op een fundamenteel verschil tussen rationale getallen en reële getallen getallen die echt een graad in wiskunde vereisen om het goed te begrijpen, maar ik hoop dat je op zijn minst een voorproefje hebt van het verschil, zo niet een volledige waardering van de subtiliteiten.
Antwoord
Reële getallen zijn getallen tussen de rationale getallen . Wat betekent die uitspraak eigenlijk?
Beschouw de vierkantswortel van 2. Er kan worden aangetoond dat deze niet rationeel is. Maar we kunnen er met enige nauwkeurigheid achter komen wat de waarde ervan is door alle rantsoenen te identificeren die lager zijn, en alle rationale getallen hoger. Het is tussen twee sets rationale getallen in.
Dat geldt voor elk reëel getal, tenzij het ook rationeel is. Voor elk reëel getal is er een reeks rationale getallen die allemaal kleiner zijn dan of gelijk zijn, en een andere reeks rationale getallen die allemaal groter zijn dan of gelijk zijn, en elke rationale is in de ene of de andere van deze twee sets . Dat soort verdeling van de rationale getallen is de sleutel tot het construeren van de reële getallen uit de rationale getallen door middel van Dedekind-bezuinigingen.
Beschouw twee sets rationale getallen, L (lager) en H (hoger), zodat elk getal in H is hoger dan elk getal in L, en de twee sets bevatten samen elk rationaal getal. We weten dat zulke sets L en H bestaan voor elk reëel getal dat we algebraïsch kunnen berekenen, maar dat zijn niet de enige van zulke sets.
In het algemeen kan L een hoogste getal hebben, Lmax“ of H heeft mogelijk een laagste nummer Hmin. In die gevallen zou Lmax of Hmin de bovengrens van L en de ondergrens van H zijn, en het zou rationeel zijn. Als noch Lmax noch Hmin bestaat – en we weten dat ze dat niet zullen doen als we de sets hebben gemaakt op basis van een bekend irrationeel getal – definiëren we de bovengrens van L (wat ook de ondergrens van H is) als een reëel getal.
In feite creëren we elke keer dat we een irrationeel getal benaderen met een decimale breuk, zon partitie. Als we bijvoorbeeld zeggen dat een irrationeel getal 1,2345 is …, zeggen we dat het groter is dan 1,2345 maar kleiner dan 1.2346, en naarmate we meer getallen in de decimale uitbreiding schrijven, voegen we meer getallen toe aan de sets waarvan het groter is dan en kleiner dan.
Met behulp van deze decimale uitbreidingen kunnen we een belangrijk verschil afleiden tussen de rationale getallen en de echte getallen. De rationale getallen zijn telbaar ; dat wil zeggen, ze kunnen in één-op-één-correspondentie met de gehele getallen worden geplaatst. De reële getallen zijn niet telbaar.
Wat is het verschil tussen reële en rationale getallen?