Beste antwoord
Aan Abhinav Rk: je hebt deze vraag bijna drie jaar geleden gepost, dus misschien zijn niet langer geïnteresseerd in een antwoord. Ik denk echter dat uw vraag bij andere pogingen om deze te beantwoorden verkeerd is begrepen. Ik denk dat u vraagt naar de wiskundige formule die in Excel is gecodeerd door de PMT-functie, wanneer er een niet-nul toekomstige waarde FV is. Bij het onderzoeken van uw vraag kon ik geen enkel voorbeeld vinden van een dergelijke berekening, laat staan een bespreking van de wiskunde erachter. Hier is mijn poging om het probleem te begrijpen, met de disclaimer dat ik alleen bekend ben met de eenvoudigst mogelijke presentaties van financiële wiskunde, grotendeels gebaseerd op hoofdstuk 8 van het undergraduate-leerboek Thinking Mathematically, door Robert Blitzer, 7e editie, Pearson, 2019. Ik ben op geen enkele manier een expert in financiële wiskunde.
Stel dat we beginnen met de formule voor het berekenen van de periodieke betaling ( storting) op een lijfrenteaccount die nodig is om een lijfrente A te verkrijgen. Dit wordt gegeven door
\ begin {vergelijking} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ right)} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} – 1 \ right]}. \ tag {1} \ end {equation}
waarbij r het rentepercentage is uitgedrukt als een decimaal, n het aantal betalingen per jaar is (bijvoorbeeld n = 12 als maandelijkse betalingen / stortingen gemaakt), en t is het aantal jaren waarvoor de betaling is gedaan. Ter referentie: het product is n \ maal t gelijk aan de variabele “Nper” die in Excel wordt gebruikt.
Als een bedrag PV wordt geleend op een lening, wordt de toekomstige waarde van de lening onder deze voorwaarden gegeven volgens de formule voor samengestelde rente:
\ begin {vergelijking} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
Meestal wilt u de lening aflossen met een betaling die net gelijk is aan de aanbetaling die vereist zou zijn om een annuïteit te behalen die gelijk is aan deze toekomstige waarde, A = FV\_0, in welk geval de toekomstige waarde van de lening verlaagd zou zijn naar FV\_0 = 0 (ik onderscheid deze toekomstige waarde met een 0-subscript, dat er waarschijnlijk nogal onbekend uitziet, maar ik denk dat deze notatie de wiskunde begrijpelijker maakt).
Als u echter een betaling wilt doen die laat een onbetaald deel van de lening achter, dat wil zeggen een niet-nul toekomstige waarde FV van de lening, dan moet u betalingen instellen op een lijfrente A die de toekomstige waarde verlaagt tot FV = FV\_0 – A.Om dit op te lossen voor A, is de lijfrentewaarde die in vergelijking (1) moet worden vervangen dan A = FV\_0 – FV, en de betaling wordt gegeven door
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ right)} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} – 1 \ right]}. \ tag {3} \ end {equation}
Vervanging voor FV\_0 uit vergelijking (1), dit kan worden geschreven als
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ tijden C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {equation}
waar
\ begin {vergelijking} C \, = \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} \ tag {5} \ end {vergelijking}
is de samenstellingsfactor.
In het antwoord van Abhinav Rk wordt een voorbeeldprobleem gegeven met hoofdwaarde PV = 30000, r = 6.5 \\% = 0.065, t = 5 jaar en FV = -9000. Hij gaat verder, verwijzend naar de betaling die voor dit voorbeeld vereist is, door te vragen “Hoe bereken ik dit handmatig”? Excel geeft hem de waarde \ $ 459 als oplossing.
Voor zijn voorbeeld vind ik voor de samengestelde factor (merk op dat om de formule te gebruiken die ik heb afgeleid, de toekomstige waarde positief moet worden genomen: FV = 9000):
\ begin {vergelijking} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {equation}
en wanneer dit wordt vervangen in vergelijking (4) Ik krijg
\ begin {equation} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ times 1.382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0,064} {12} \ right)} {0,382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {equation }
in goede overeenstemming met wat hij heeft verkregen met Excel.
Ervan uitgaande dat ik de vergelijkingen correct heb ontwikkeld, hoop ik dat dit nuttig kan zijn voor u of anderen die in dezelfde vraag geïnteresseerd zijn.
Antwoord
Van de officiële Excel 2016 Help:
PMT-functie – Office-ondersteuning
Syntaxis
PMT (rate, nper, pv, [fv], [type])
Opmerking: Voor een meer volledige beschrijving van de argumenten in PMT, zie de PV-functie.
De syntaxis van de PMT-functie heeft de volgende argumenten:
- Tarief vereist. Het rentepercentage voor de lening.
- Nper Vereist. Het totale aantal betalingen voor de lening.
- Pv Vereist.De huidige waarde, of het totale bedrag dat een reeks toekomstige betalingen nu waard is; ook wel bekend als de opdrachtgever.
- Fv Optioneel. De toekomstige waarde, of een kassaldo dat u wilt bereiken nadat de laatste betaling is gedaan. Als fv wordt weggelaten, wordt aangenomen dat dit 0 (nul) is, dat wil zeggen dat de toekomstige waarde van een lening 0 is.
- Type Optioneel. Het cijfer 0 (nul) of 1 geeft aan wanneer betalingen verschuldigd zijn.
- Stel het type in gelijk aan:
- 0 of weggelaten Als betalingen verschuldigd zijn Aan het einde van de periode
- 1 Als betalingen zijn verschuldigd Aan het begin van de periode
Wiskundig kan dit worden geïmplementeerd als:
pmt = Tarief * (Fv * -1 + Pv * (1 + tarief) ^ aantal)) / ((1 + tarief * type) * (1- (1 + tarief) ^ aantal)
Maak zorg ervoor dat de eenheden van Nper & Rates consistent zijn en dat de juiste instroom / uitstroom van contanten wordt verantwoord.
Hieronder staat de eenvoudigere vergelijking (zonder de Fv & Type) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Tarief * (1+ Tarief) ^ Aantal) / [(1 + Tarief) ^ Nper – 1]