Beste antwoord
Intuïtief impliceert een noemer van 3 dat het getal in drie gelijke delen wordt “verdeeld”. 27 gedeeld door 3 is 9. Dat wil zeggen, elk van de 3 groepen is gelijk aan 9.
2/3 geeft aan dat van de 3 groepen van 9 slechts 2 van de 3 groepen van belang zijn. 2/3 is dus 9 + 9 = 18.
De 2/3 van 27 is 18.
Antwoord
John K Williamsson gaf een goed antwoord: voor wat hij de “vuile som” van \ frac {1} {2} en \ frac {8} {9} noemde (de wiskundige term daarvoor is mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Hij stelt voor om gebruik algebra om de middelmatige ongelijkheid te bewijzen: als a, b, c, d positieve getallen zijn en
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
dan
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Ik wil hieraan toevoegen dat, op het niveau van de basisschool, de middelmatige ongelijkheid geen algebraïsch bewijs behoeft, het is voldoende vanzelfsprekend.
Inderdaad beschouw breuken \ frac {1} {2} en \ frac {8} {9} als beschrijvingen van situaties uit het echte leven:
\ frac {1} {2}: 2 kinderen hebben 1 zak fruit .
\ frac {8} {9}: 9 kinderen hebben 8 zakken fruit.
Ze komen samen en delen gelijkelijk: 1 + 8 zakken fruit tussen 2 + 9 = 11 kinderen, dat wil zeggen, zij vormen de middelste:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
Welke groep kinderen verliest bij dit delen en welke wint? Natuurlijk winnen 2 kinderen met 1 tas: ze hebben \ frac {1} {2} tassen per hoofd, de andere groep heeft een groter aandeel per hoofd: \ frac {8} {9}. Om dezelfde reden verliezen kinderen in de tweede groep.
Ik gebruik een voorbeeld met kinderen en zakjes snoep in mijn colleges; hier heb ik snoep vervangen door meer politiek correct fruit – misschien moet ik verder gaan en groene groenten gebruiken in plaats van fruit. Het oorspronkelijke idee behoorde toe aan de grote Israel Gelfand, en werd in een kleurrijkere taal gesteld:
Je kunt wiskunde aan iedereen uitleggen, zelfs aan dronkaards. Als je mensen vraagt die wodka drinken op een bankje in het park, wat is dan groter, \ frac {2} {3} of \ frac {3 } {4} , ze zullen antwoorden met krachttermen. Maar wat is beter, 2 flessen wodka voor 3 mensen of 3 flessen wodka voor 4 mensen, zij zullen u onmiddellijk het juiste antwoord geven: van natuurlijk 3 flessen voor 4 mensen.
En deze onmiddellijke conclusie komt van een argument dat de omkering is van het informele bewijs van de middelmatige ongelijkheid: hoe kom je van de situatie “2 flessen voor 3 personen” naar de situatie “3 flessen voor 4 personen”? Het betekent natuurlijk dat een vierde man komt en een hele fles meebrengt – kun je je voorstellen, een hele fles wodka! In de middelmatige ongelijkheid,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
of
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Ik heb enkele artikelen gezien die bevestigen dat dit een typisch rekenkundig patroon is denken, zoals gedaan door “normale” mensen in reële situaties (ik heb bijvoorbeeld een bewering gezien dat het wordt gebruikt door ziekenhuisverpleegkundigen voor het vergelijken van doses medicatie, welke is groter en welke kleiner).