Najlepsza odpowiedź
Istnieje wiele dobrych odpowiedzi, które pomogą Ci zwizualizować, co oznacza to pytanie, aby intuicyjnie dotrzeć do odpowiedź 3. I nic, co tu piszę, nie ma na celu odebrania wartości tych odpowiedzi. Pomagają nowym uczniom myśleć o związku między matematyką a modelowaniem w konkretny sposób, a to jest OGROMNA umiejętność.
W związku z tym matematyka to nie modelowanie. Zatem alternatywnym sposobem myślenia o tym problemie jest czysto matematyczna perspektywa. A jeśli rozwiniesz tę umiejętność, będziesz pracować na drodze do radzenia sobie z bardziej abstrakcyjnymi rodzajami matematyki, które często kończą karierę matematyczną uczniów, którzy polegają wyłącznie na bardziej zorientowanym na model, intuicyjnym podejściu.
Zapytałeś „Ile wynosi 3/4 podzielone przez 1/4?”
W samym środku pytania użyłeś terminu „podzielone przez”. Dla matematyka jest to wskazówka, aby od razu sprawdzić DEFINICJĘ podziału. Definicje to cegły, na których zbudowana jest matematyka.
Definicja podziału (w tym kontekście) jest następująca:
Biorąc pod uwagę dwie liczby, a i b (gdzie b \ ne 0), a podzielone przez b jest c, jeśli c razy b równa się a.
Więc teraz wiem, co oznacza „podzielone przez”. Czy możemy zastosować tę definicję do twojego problemu? Cóż, pytasz o 3/4 podzielone przez 1/4. Wygląda na to, że masz dwie liczby (z których druga nie jest zerem) i chcesz poznać wynik podzielony przez pierwszą. Wydawałoby się więc, że ta definicja jest DOKŁADNIE tym, czego potrzebujesz.
Więc teraz zaczyna się gra. Odpowiedzią na problem będzie dowolna liczba, c, taka, że \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Oto dobra wiadomość. Teraz wiemy, jak sprawdzić, czy jakaś odpowiedź jest prawidłowa. Po prostu mnożymy 1/4 przez odpowiedź kandydata, a jeśli wynik wynosi 3/4, odpowiedź kandydata jest poprawna.
Zła wiadomość jest taka, że jeśli odpowiedź kandydata NIE jest poprawna, nie jesteśmy bliżej znalezienie poprawnej odpowiedzi. Innymi słowy, definicja nie pomaga nam ZNALEŹĆ właściwej odpowiedzi. Pomaga nam tylko sprawdzić, czy odpowiedź kandydata jest prawidłowa.
Więc co możemy zrobić? Ciągłe próby i błędy wydają się złym pomysłem. Wygląda na to, że nadszedł czas, aby wymyślić regułę, która zawsze da nam poprawną odpowiedź.
Proponuję tę regułę. Biorąc pod uwagę dwie liczby a i b \ ne 0, a podzielone przez b zawsze musi być równe a razy odwrotności b (często oznaczane jako \ frac 1b).
Oczywiście, zanim będziemy mogli użyć tej reguły, musimy upewnić się, że zawsze działa. To właśnie nazywamy dowodem. Dowód tutaj jest łatwy, ponieważ reguła daje mi rozwiązanie kandydata, a definicja mówi mi dokładnie, jak sprawdzić rozwiązanie kandydata.
Czy to prawda, że a \ times \ frac 1b = a podzielone przez b? Definicja mówi, że odpowiedź będzie c, jeśli c razy b równa się a. Czy możemy więc pomnożyć naszego kandydata, a \ times \ frac 1b przez b, aby otrzymać a? Ponieważ mnożenie jest przemienne, oczywiście możemy. I zasada jest sprawdzona. (Właśnie udowodniliśmy nasze pierwsze twierdzenie o dzieleniu. Jeśli definicje znajdują się na cegłach matematycznych, twierdzenia i dowody są zaprawą, która je spaja i pozwala na ich użycie do budowy wielkich konstrukcji).
Więc to wydawałoby się, że odpowiedzią na nasz problem jest to, że 3/4 podzielone przez 1/4 musi być równe iloczynowi 3/4 i odwrotności 1/4. Świetny! Zgadza się?
Cóż, teraz zmieniliśmy nasz problem podziału na dwa problemy. Jeden to problem z mnożeniem. Drugie to „Jak znaleźć odwrotność 1/4?”
Zakładam, że wiesz, jak mnożyć liczby, więc tak naprawdę mamy tylko jedno pytanie dotyczące znajdowania odwrotności. Naprawdę, to tylko kolejny problem z podziałem. Naprawdę proszę cię teraz o znalezienie 1 podzielonego przez 1/4. Na początku nie wygląda to na wygraną, ponieważ wróciłem do podziału. Ale twierdzę, że jest to wygrana, ponieważ nie musieliśmy już wymyślać, jak podzielić KAŻDE a przez b, aby teraz znaleźć 1 podzielone przez b dla dowolnego niezerowego b. Dobra wiadomość jest taka, że ŁATWO jest nauczyć się odgadnąć właściwą odwrotność. A kiedy już zgadniesz, możesz to zweryfikować, ponieważ właśnie to definicja mówi ci, jak to zrobić.
Odwrotność 1/4 to 4. Możemy zweryfikować, że ponieważ odwrotność oznacza 1 podzielone przez 1 / 4, a definicja mówi, że 4 jest odpowiedzią, o ile 4 pomnożone przez 1/4 daje 1. I rzeczywiście, to prawda.
W końcu dowiedzieliśmy się, że 3/4 podzielone przez 1 / 4 równa się 3/4 razy 4. A ponieważ umiem mnożyć (np. Dodając 4 kopie liczby 3/4), dochodzę do wniosku, że odpowiedź to 3. A jeśli jestem naprawdę ostrożny, wróć i sprawdź wynik używając definicji, aby upewnić się, że nie popełniłem żadnych błędów. Czyli 1/4 pomnożone przez 3 równa się 3/4? Rzeczywiście tak jest, więc 3 zostało już zweryfikowane jako poprawne rozwiązanie.
Ta odpowiedź wydaje się NAPRAWDĘ długa i skomplikowana – szczególnie dla nowicjusza w matematyce. Rozumiem.Rzeczywiście, odpowiedź otrzymasz znacznie szybciej, korzystając z kalkulatora lub Google albo używając (niesprawdzonych dla Ciebie) technik, których większość z nas uczy się wcześnie w szkole. Ale wcale nie o to chodzi.
To, czego naprawdę się nauczyliśmy, nie jest odpowiedzią na TEN problem. Naprawdę nauczyliśmy się, że dzielenie DOWOLNYCH liczb wymaga, abyśmy umieli zrobić dwie rzeczy. Po pierwsze, musimy wiedzieć, jak podzielić JEDEN przez dowolną (niezerową) liczbę, aby otrzymać odwrotność. Po drugie, musimy wiedzieć, jak pomnożyć dowolne dwie liczby. Ta prawda jest o wiele bardziej interesująca i głębsza niż znajomość odpowiedzi na to pytanie. Wybaczcie nadużywaną metaforę, ale raczej uczy człowieka łowić ryby niż dawać mu rybę.
A prawdziwą mocą jest to, że umieszcza podział w kontekście, który pozwala na uogólnienie. Uogólnienia podziału dwóch liczb prowadzą do ważnych pomysłów. I na tym właśnie polega matematyka!
Odpowiedź
Michael Lamar bardzo dobrze wyjaśnia w swojej odpowiedzi, dlaczego zrozumienie abstrakcyjnego pojęcia dzielenia jest matematycznie ważniejsze niż konkretna odpowiedź na \ frac34 \ div \ frac14, więc od razu przejdę do uogólnienia:
Co to jest \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
W a Pole każdy niezerowy element a ma unikalną multiplikatywę odwrotną a „taką, że
\ quad a \ times a” = a ” \ times a = 1 multiplikatywna tożsamość.
Dzielenie jest zdefiniowane w kategoriach mnożenia:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a „
Mnożnik odwrotny do ułamka jest podawany przez odwrócenie ułamka, ponieważ:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1, więc \ left (\ frac {p} {q} \ right) „= \ frac {q} {p} (z wyjątkiem p = 0).
Stąd nasz podział jest określony wzorem:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Dla początkującego matematyka to odpowiada na pytanie, przynajmniej w kontekście Pola. Prawdziwy (czysty) matematyk będzie wtedy chciał zobaczyć, jak mogą dalej uogólniać.
Inni będą bardziej zainteresowani uzyskaniem konkretnej odpowiedzi na pierwotne pytanie poprzez utworzenie instancji n = 3, m = 4, p = 1, q = 4, aby uzyskać:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Wciąż nie całkiem 3, ale można tam dotrzeć z nieco większą abstrakcją: ćwiczenie, które zostawię zainteresowanemu czytelnikowi.
Nawiasem mówiąc, dla tego początkującego matematyka możesz sprawdzić, czy w polu skończonym \ mathbb F\_5 mamy:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12, ponieważ \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 i \ frac12 \ equiv3