Najlepsza odpowiedź
Z teoretycznego probabilistycznego punktu widzenia pole losowe to rodzina zmiennych losowych indeksowanych przez rozmaitość.
Pozwól, że wyjaśnię:
Proces stochastyczny to rodzina zmiennych losowych \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, gdzie dla każdego t, X (t) jest zmienną losową, at zmienia się w zbiorze T zwanym zbiorem indeksów. Teoretycznie definicja nie nakłada żadnych ograniczeń na zbiór indeksów T, może to być dowolny zbiór. Jednak kiedy mówimy o procesie stochastycznym, w 99\% faktycznie myślimy o t jako o czasie, stąd T musi być rzeczywistą linią lub zbiorem liczb całkowitych lub ich częścią.
Kiedy to jest nie jest tak, najczęściej, kiedy T jest w rzeczywistości wyższą wymiarową przestrzenią euklidesową lub jej częścią, lub czymś w tym rodzaju („rozmaitość”), wtedy \ {X (t) \} \_ {t \ in T} jest zwane polem losowym. Chodzi o to, że skoro indeks nie jest już jednowymiarowy, nie możemy myśleć o nim jako o czasie, więc myślimy o nim jako o przestrzeni. W rezultacie nie otrzymujemy „procesu”, otrzymujemy „pole”. W ten sposób otrzymujemy losową powierzchnię lub losową funkcję wielowymiarową.
Odpowiedź
Zmienna losowa jest definiowana jako mierzalna funkcja
X: \ Omega \ mapsto \ R
Gdzie \ Omega to Przestrzeń prawdopodobieństwa – Wikipedia .
Nie przejmuj się zbytnio częścią „mierzalną”; główną kwestią, którą chcę tutaj poruszyć, jest to, że szczególnie w matematyce i fizyce istnieje pewien rodzaj równoważności między funkcjami i zmiennymi .
Na przykład, powszechnie stosowana forma reguły łańcuchowej z Calculus mówi:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
ale ma to sens tylko wtedy, gdy y jest domyślnie funkcją u i u są domyślnie funkcją x. Ponadto po lewej stronie y faktycznie (i niejawnie) reprezentuje złożoną funkcję y = y (u (x)).
Ten rodzaj notacji funkcja jako zmienna widzisz także cały czas w równaniach różniczkowych. Na przykład, gdy ktoś pisze równanie różniczkowe, takie jak
y „= y
, to po prostu rozumie , że y to funkcja w jakiejś nieokreślonej domenie, tj. y = y (x), a y „reprezentuje funkcję \ frac {dy} {dx}, a = znak oznacza równość funkcji. To jest dużo konfiguracji wbudowanej w tę notację!
Wspominam o tym, ponieważ zmienne losowe działają dokładnie w ten sam sposób. Piszemy X, ale ten symbol odnosi się do funkcji X (\ omega). Zmienna losowa to funkcja, której dziedziną jest przestrzeń prawdopodobieństwa. Przestrzeń prawdopodobieństwa prawie nigdy nie jest wyraźna w notacji, ale musi być zdefiniowana w kontekście.
Jeśli chodzi o to, dlaczego nazywa się to „przypadkowym”, to jest to tylko słowo, którego używamy do określenia rzeczy, zależą od przestrzeni prawdopodobieństwa. Jeśli powiem „policz 1 za orła, -1 za reszki”, zdefiniowałem zarówno przestrzeń prawdopodobieństwa \ Omega = \ {orły, reszki \} (prawdopodobnie z rozkład równomierny) i zmienną losową X (orły) = 1, X (ogony) = – 1. Symbol X nie oznacza liczby rzeczywistej, ale raczej funkcję z „przypadkową” dziedziną, gdzie „losowy” może być luźno zdefiniowany jako „mający znany rozkład wyników”.