Najlepsza odpowiedź
O ile mi wiadomo, termin „zestaw punktów” nie ma standardowej definicji matematycznej. Wyrażenie „Niech X będzie zbiorem punktów” jest bez znaczenia. W „topologii zbioru punktów” fraza „zbiór punktów” jest przymiotnikiem modyfikującym „topologię”, w przeciwieństwie do „topologii algebraicznej” lub „topologii różnicowej”.
- Topologia zbioru punktów bada potencjalnie patologiczne przestrzenie topologiczne z zasadniczo teoretycznego punktu widzenia.
- Topologia algebraiczna wykorzystuje algebrę homologiczną do analizy odpowiednio ładnych ciągłych przestrzeni.
- Topologia różniczkowa używa rachunku różniczkowego do badania gładkich przestrzeni.
Modyfikator „zestaw punktów” do topologii oznacza zatem, że potencjalnie pracujesz w kontekście, w którym twoje przestrzenie są nie nadaje się do badania metodami ciągłymi lub zróżnicowanymi.
Odpowiedź
Linia może być traktowana jako składająca się z wskazuje, ale nie jestem pewien, czy najlepiej o tym myśleć. I jestem prawie pewien, że nie powinno się mówić, że linia składa się z punktów, ponieważ żaden z nich nie jest bardziej fundamentalny od drugiego.
W geometrii aksjomatycznej linie i punkty są odrębnymi podstawowymi bytami. Dwie linie przecinają się w punkcie, a na każdej linii istnieje ścisła kolejność różnych punktów. Ciekawą cechą geometrii rzutowej jest symetria między punktami i liniami: istnieje między nimi formalna dualność . To stwierdzenie, że dwie linie spotykają się w punkcie, jest formalnie równoważne z podwójnym – dwa punkty definiują linię. W podwójnym ujęciu punkt składa się z linii.
Co do liczności punktów na prostej: zależy to od konstrukcji, na które pozwolisz. W przypadku tradycyjnej „nieoznaczonej linijki i kompasu” istnieje tylko policzalna liczba punktów, które możemy osiągnąć na linii. Dopuszczając ograniczenia ciągów punktów w ogólności, możemy dotrzeć do dowolnego punktu na osi liczby rzeczywistej, który ma liczność kontinuum niezliczoną . Ale nie ma szczególnego powodu, aby na tym poprzestać: możemy skonstruować, powiedzmy, surrealistyczną oś liczbową, na której różne punkty mogą być nieskończenie blisko i jest ich niestety wiele (poza niepoliczalnymi!).