Najlepsza odpowiedź
Kiedyś uczyłem matematyki kilku gimnazjalistów w ekskluzywnej prywatnej szkole. Miałem jednego ucznia, który był arogancki i ciągle denerwował mnie i innych uczniów. Administracja nie popierała moich prób zdyscyplinowania go. Wymyśliłem takie rozwiązanie:
Powiedziałem mu, że gdyby mógł znaleźć wzór liczb pierwszych, aby mógł przewidzieć następną, mógłby zarobić dużo pieniędzy i być sławny. Spodobało mu się to wyzwanie i zaczął się mu poświęcać. Miał strony i strony obliczeń i nigdy więcej mi nie przeszkadzał. Od czasu do czasu okazywałem zainteresowanie jego pracą, a on mówił coś w stylu: „Myślę, że coś robię…”
Wiedziałem, że niczego nie znajdzie, bo wiedziałem że nie ma żadnego wzoru na liczby pierwsze. Mogą istnieć pewne obszary lokalne, w których wydaje się, że istnieje wzór, ale nie ma ogólnego wzoru ani wzoru do przewidzenia NASTĘPNEJ liczby pierwszej bez TESTOWANIA.
Pomyśl o tym w ten sposób. Jesteś człowiekiem paleolitu, który odkrywa, że 2, 3, 5, 7, 11 i 13 są liczbą pierwszą. Zastanawiasz się, jaka będzie następna liczba pierwsza. Nie ma sposobu, aby go znaleźć bez testów. Możesz przetestować 14. Nie. 15, Nie. 16, Nie. 17, Bingo.
Musisz tylko przetestować czynniki aż do pierwiastka kwadratowego z liczby (w przypadku 17: 2, 3 i 4), ponieważ następna liczba będzie za duża, ale musisz TESTOWAĆ. To testowanie zajmuje DŁUGI CZAS obliczeniowo. To jest obecna podstawa kryptografii. Gdybyśmy mogli przewidzieć następną liczbę pierwszą, wszystkie nasze hasła byłyby nagie.
Matematycy zdają się nienawidzić przyznawania, że w środku liczb znajduje się CHAOS, ale jest i uważam to za cudowne.
Skąd mam wiedzieć, że nie ma wzorca?
Wzorzec: (definicja słownikowa) • układ lub sekwencja REGULARNIE znajdowane w porównywalnych obiektach lub zdarzeniach. • ZWYKŁA i zrozumiała forma lub sekwencja dostrzegalna w określonych działaniach lub sytuacjach.
Zatem WZÓR oznacza PRAWIDŁOWOŚĆ lub POWTARZANIE. POWTARZANIE oznacza WIELOKROTNOŚĆ, ponieważ POWTARZANIE jest POWTARZALNYM DODAWANIEM. Mnożenie implikuje CZYNNIKI i nie możemy mieć czynników, jeśli jest liczbą pierwszą.
Oblicz: (definicja) określ (ilość lub liczbę czegoś) matematycznie. MATEMATYCZNIE nie określamy, czy liczba jest liczbą pierwszą. Robimy to EKSPERYMENTALNIE.
Myślę, że liczby pierwsze nie mają WZORU, ale wydają się mieć pewne TENDENCJE. Mają tendencję do stawania się bardziej rzadkimi, gdy ilości wzrastają, ale nagle… widzisz dwa razem. Są to tak zwane bliźniacze liczby pierwsze. Przykłady: (41, 43), (137, 139). Nikt nie wie, czy bliźniacze liczby pierwsze, podobnie jak liczby pierwsze, są nieskończone. Nie zostało to udowodnione.
Wikipedia: „Obecnie największą znaną bliźniaczą parą pierwszą jest 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 z 388 342 cyframi dziesiętnymi. Został odkryty we wrześniu 2016 r. ” Podwójna liczba pierwsza – Wikipedia
Podobnie jak w przypadku samych liczb pierwszych, nie ma pieprzonego sposobu, aby przewidzieć, kiedy te dwie liczby pierwsze nadejdą wzdłuż. (MOŻE być możliwe do udowodnienia, czy kiedykolwiek się skończą. Spróbuj.)
Niektórzy myślą, że w spirali Ulama istnieją „wzorce”. Spirala Ulama – Wikipedia
JEDNAK, jeśli pobierzesz figurę i ją wysadzisz, zobaczysz pojawiające się proste linie, a następnie ZNIKA. Liczby pierwsze są nieskończone. Więc oczywiście statystycznie (w naszym systemie ARBITRARY Base 10) czasami pojawią się pewne proste linie, na przykład podczas przerzucania monet można czasami uzyskać dużą serię Ołów.
(Ponadto spirala Ulama używa kwadratów. Myślę, że inna spirala pojawi się, jeśli użyjesz innych kształtów wypełniających obszar: trójkątów lub sześciokątów.)
Nauka polega na znajdowaniu wzorców w celu przewidywania. Możemy przewidzieć, kiedy nastąpi następne zaćmienie Księżyca, możemy przewidzieć, kiedy słońce wzejdzie jutro, możemy przewidzieć, kiedy woda zamarznie i zagotuje się, ale NIE MOŻEMY przewidzieć następnej liczby pierwszej.
Podsumowanie: Możesz być w stanie podnieść węża, ale nie wiesz, w którą stronę się skręci.
Uwaga: ta odpowiedź dotyczy głównie w oparciu o moją poprzednią odpowiedź tutaj:
Odpowiedź Billa Lauritzena na Czy jest nagroda dla tego, kto odkryje wzór w liczbach pierwszych?
Odpowiedź
To jest to prawda, że rozkład liczb pierwszych może wydawać się losowy (i jest do pewnego stopnia). Jednak narzędzia analitycznej teorii liczb dają nam kluczowy wgląd w rozkład liczb pierwszych i ujawniają wiele interesujących wzorców.
Niech \ pi (x) reprezentuje liczbę liczb pierwszych \ leq x, gdzie x jest dodatnią zmienną rzeczywistą.
Zgodnie z twierdzeniem o liczbach pierwszych , z którego nie znam ładnego elementarnego dowodu (najprostszy, jaki znam, wykorzystuje analizę złożoną), co następuje dla \ pi (x), gdy x zbliża się do nieskończoności:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
~ reprezentuje asymptotyczny równoważność, której główną ideą jest to, że funkcja \ pi (x) jest bardzo zbliżona do funkcji \ frac {x} {\ log x}, przy czym przybliżenie jest coraz lepsze, gdy x staje się coraz większe.
Dla osób zaznajomionych z rachunkiem elementarnym, f (x) \ sim g (x), jeśli granica przy x zbliża się do nieskończoności \ frac {f (x)} {g (x)} wynosi 1.
Jak zwykle w matematyce wyższej, log reprezentuje logarytm naturalny. Oznacza to również, że jeśli p (n) reprezentuje n-tą liczbę pierwszą, to:
p (n) \ sim n \ log (n)
Innym prostym przykładem jest to, że jeśli wybierz losową liczbę całkowitą z pierwszych n liczb całkowitych dodatnich, prawdopodobieństwo, że jest to liczba pierwsza wynosi około \ frac {1} {\ log n}
Inna forma twierdzenia o liczbach pierwszych, która jest nieco mniej intuicyjna ale empirycznie dokładniejszy jest następujący:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
W obu przypadkach lewa side jest liczbą całkowitą, podczas gdy prawa strona to jakaś okropna funkcja transcendentalna (którą możemy ocenić nieco łatwiej niż lewa strona). W każdym razie musi być jakiś błąd, jeśli przybliżymy \ pi (x) jako \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Nie do końca znam najlepsze ograniczenie błędów, które zostało dotychczas udowodnione, ale jeśli hipoteza Riemanna okaże się prawdziwa, możemy poprawić błąd związany z:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
Podobnie, jeśli związany błąd jest prawdziwy, możemy również udowodnić Riemanna hipoteza. Problem z tym związanym błędem polega na tym, że jest napięty: wiemy, że nie możemy zrobić lepiej.
Powiedziałbym, że twierdzenie o liczbach pierwszych jest prawdopodobnie najważniejszym i najbardziej interesującym wynikiem w analitycznej teorii liczb
tl; dr, liczby pierwsze asymptotycznie podążają za rozkładem, który jest jak stosunkowo łatwa funkcja analityczna, więc tak, istnieje wzorzec.