Najlepsza odpowiedź
Regularny pięciokąt nie jest mozaikowany.
Aby regularny wielokąt tworzył mozaikę wierzchołek do wierzchołka, wnętrze kąt twojego wielokąta musi równo podzielić 360 stopni. Ponieważ 108 nie dzieli równo 360, pięciokąt foremny nie teseluje w ten sposób.
Próba umieszczenia jednego z wierzchołków na krawędzi gdzieś zamiast na wierzchołku nie działa z podobnych powodów, kąty nie Nie pasują do siebie.
Istnieje jednak wiele pięciokątów, które wykonują mozaikowanie, tak jak w poniższym przykładzie, które są kafelkami od wierzchołka do wierzchołka. Jak widać, kąty wszystkich wielokątów wokół jednego wierzchołka sumują się do 360 stopni.
Sprawdzenie warunku kąta jest to nie jedyny wymagany warunek, aby zobaczyć, czy wielokąty teselują, ale bardzo łatwo jest to sprawdzić.
Odpowiedź
Tylko trzy regularne wielokąty teselują: trójkąty równoboczne, kwadraty i regularne sześciokąty.
Żaden inny regularny wielokąt nie może teselować z powodu kątów rogów wielokątów. Aby mozaikować płaszczyznę, musi być w stanie spotkać się w pewnym punkcie całkowita liczba ścian. W przypadku wielokątów regularnych oznacza to, że kąty narożników wielokąta muszą być podzielone o 360 stopni. Ponadto dla wszystkich wypukłych wielokątów suma kątów zewnętrznych musi wynosić 360 stopni, a dla wielokątów regularnych oznacza to, że kąty zewnętrzne muszą być równe i sumować się do 360 stopni. Oznacza to, że kąt wewnętrzny zwykłego n-grada wynosi 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Liczba zwykłych n-gradów, które można zmieścić w narożniku, wynosi zatem \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2} i jest możliwe tylko wtedy, gdy jest to liczba całkowita .
Trójkąty równoboczne mają 3 boki, więc możesz dopasować \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 trójkątów równobocznych wokół punktu. Teselacja nie jest wykluczona.
Kwadraty mają 4 boki, więc możesz dopasować \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 kwadraty wokół punktu. Teselacja nie jest wykluczona
Pentagony mają 5 boków, więc możesz zmieścić \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pięciokątów wokół punktu. To nie jest liczba całkowita, więc teselacja jest niemożliwa.
Sześciokąty mają 6 boków, więc możesz zmieścić \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 heksagony. Teselacja nie jest wykluczona.
Ale więcej stron niż to? Cóż, to niemożliwe. Zauważ, że \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2} i że 2 < \ frac {2n} {n-2}, więc dla n> 6 masz 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, więc dla regularne siedmiokąty, ośmiokąty, nieagony, itp., nie można było zmieścić ich liczby całkowitej wokół punktu.
Nie oznacza to, że nie ma pięciokątów, siedmiokątów, ośmiokątów itp., które są nie regularne pięciokąty, regularne siedmiokąty, zwykłe ośmiokąty itp.