Czy pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby jest zawsze dodatni?


Najlepsza odpowiedź

Przedstawię to tak, jakby wszyscy się zgadzali, co nie jest prawdą.

Każda liczba, rzeczywista lub zespolona, ​​ma dwa pierwiastki kwadratowe, które są wzajemnymi zaprzeczeniami. Wyjątkiem jest zero, które jest własną negacją.

Dziedziną pierwiastka kwadratowego mogą być liczby rzeczywiste lub zespolone, a konwencje są nieco inne. Skupmy się najpierw na pierwiastku kwadratowym z liczb rzeczywistych.

Znak radykalny \ sqrt {x} zastosowany do liczby rzeczywistej oznacza Principal lub dodatni pierwiastek kwadratowy. Jeśli x \ ge 0 to \ sqrt {x} \ ge 0. Tak więc, aby odpowiedzieć na pytanie z zastrzeżeniami, pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej jest zawsze z definicji dodatni.

Główny pierwiastek kwadratowy z negatywna rzeczywistość to pozytywna rzeczywistość i. Mimo że liczby zespolone nie są uporządkowane, na urojonej osi zachodzi ważna kolejność, analogiczna do kolejności na osi rzeczywistej.

Kiedy mówimy o „pierwiastku kwadratowym”, zwykle odnosimy się do główny pierwiastek kwadratowy. Kiedy mówimy o „pierwiastku kwadratowym”, mamy również na myśli. W tym pytaniu OP nie dostarcza artykułu, więc nie ma tu pomocy.

Kiedy mamy do czynienia z pierwiastkami kwadratowymi z liczb rzeczywistych, bardzo ważne jest, abyśmy rozumieli

\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}

Gdy domena jest liczbą rzeczywistą, \ sqrt {x} jest funkcją od liczb rzeczywistych do zespolonej. Przyjmuje jedną unikalną wartość dla każdego rzeczywistego x. Jest to zawsze 0, dodatnia liczba rzeczywista lub dodatnia liczba rzeczywista razy i. Jest to jeden z dwóch pierwiastków kwadratowych, które zostały zdefiniowane jako główny pierwiastek kwadratowy.

O ile nie zażądano jawnie wartości głównych, pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej \ sqrt {z} należy traktować jako wyrażenie wielowartościowe. Więc tutaj powiedziałbym \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.

Gdy jawnie chcemy wyrażenia wielowartościowego, wyrażenie the odnosi się do obu pierwiastków kwadratowych, albo tak, że w ^ 2 = z. Wolę \ pm \ sqrt {z}. Ale \ pm może być zagmatwane i niejednoznaczne, więc może działać w obie strony.

Bardziej kontrowersyjne jest to, że odwrotność liczby naturalnej traktuję jako wykładnik, z ^ {\ frac 1 2}, jako wyrażenie wielowartościowe odnoszące się do wszystkich pierwiastków, a nie funkcji.

Dokładnie to, co oznacza równość wyrażeń wielowartościowych jest zwykle pomijane, zwłaszcza nieznośny problem, który 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Może.

Odpowiedź

Hmm, ten jest podstępny … Więc, oto idzie:

Pierwiastek kwadratowy to funkcja matematyczna, a jej rzeczywista nazwa to dodatnia funkcja pierwiastka kwadratowego, która ewidentnie daje wszystkie wartości + ve. Powodem tego rozróżnienia jest to, że w funkcji matematycznej f (x, y) dla każdej wartości x musi istnieć a unikalna wartość y. Zatem pierwiastek kwadratowy z 4 z definicji nie może wynosić +2, -2! Zatem jako normę przyjmujemy, że tylko pierwiastek kwadratowy jest dodatni.

Stwarza to wiele zamieszania, ponieważ kwadrat z obu +2 i -2 wynosi 4, ale pierwiastek kwadratowy z 4 może przyjąć tylko wartość +2, ale myślę, że jest to zbiór zasad, których przestrzegamy. Możesz pomyśleć o innym systemie, w którym funkcja pierwiastka kwadratowego podaje wartości + ve i -ve, chociaż wyobrażam sobie, że doprowadziłoby to do ogromnego chaosu gdzieś w przyszłości. Mimo to piękno matematyka jest w fazie eksperymentów!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *