Czy przestrzeń zakresu macierzy jest taka sama jak przestrzeń kolumn tej macierzy?


Najlepsza odpowiedź

Krótka odpowiedź brzmi: tak, zakres macierzy jest taki sam jak jej przestrzeń kolumn , ale jest jedna subtelność.

Mając pewną liczbę m, możemy postrzegać tę liczbę albo jako stałą , albo jako środek do zdefiniowania funkcji liniowej, f (x) = mx. W podobnym duchu możemy zobaczyć macierz \ mathbf {M} albo jako tablicę liczb (nudne), albo jako środek do zdefiniowania funkcji liniowej f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.

Wyrażenie zakres odnosi się do zestawu wyników, które funkcja f () może zwrócić i jest zwykle definiowane jako właściwość funkcji, a nie liczb.

Z drugiej strony przestrzeń kolumn jest zwykle definiowana jako właściwość samej macierzy. A ponieważ przestrzeń kolumn to zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych (aka span ) kolumny \ mathbf {M}, można to zapisać jako \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, czyli dokładnie zakres f powyżej.

Odpowiedź

Zakres macierzy to zakres macierzy postrzegany jako przekształcenie liniowe. Macierz A n-na-p (rzeczywista) jest również liniową transformacją z R ^ p do R ^ n (p-wymiarowa przestrzeń euklidesowa do n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej). wszystkich liniowych kombinacji kolumn A, czyli zbioru \ {Ax: x \ in R ^ p \} (xa wektor kolumnowy.)

Jeśli A ma rząd p, to zakres ma rangę p i jest to możliwe, jeśli n> = p.

To samo dotyczy macierzy zespolonej A jako liniowej transformacji z C ^ p do C ^ n, gdzie C jest polem liczb zespolonych.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *