Najlepsza odpowiedź
Tak.
Leży poza trójkątem.
H jest ortocentrum \ Delta ABC.
Zauważ również, że \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Odpowiedź
Jak znaleźć środek okręgu opisanego i ortocentrum trójkąta rozwartego leżącego na zewnątrz trójkąta?
Jednym ze sposobów określenia środka okręgu opisanego i ortocentrum dowolnego trójkąta, rozwartego lub nie, jest używając wektorów i macierzy.
Intro:
To trochę skomplikowane, więc nie będzie dowolna przestrzeń do pokazania obliczeń.
Powiedzmy, że mamy trójkąt z wierzchołkami A, B i C oraz że długości ich przeciwległych boków to odpowiednio a, b i c.
Definiujemy trzy wektory: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) i \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
A teraz grzech Wektory ce są macierzami, możemy użyć formatu macierzy, gdzie T po wektorze oznacza, że jest on transponowany. Więc \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} i \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. W rzeczywistości są to iloczyny kropkowe.
Aby uniknąć nieporozumień, użyję również notacji \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2}, and \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Zatem u \ equiv c, v \ equiv b , oraz w \ equiv a. Użyję też kapelusza do przedstawienia wektora jednostkowego, który jest po prostu wektorem podzielonym przez jego własną długość, a więc ma długość 1. Na przykład \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Macierz transformacji:
Teraz zdefiniujemy macierz transformacji. Jeśli pracujesz w 2 wymiarach, będzie to macierz 2×2, a jeśli pracujesz w 3 wymiarach, będzie to macierz 3×3. Zauważ, że \ theta\_ {A} to kąt między \ vec {u} a \ vec {v}, który jest kątem w wierzchołku A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Używamy macierzy transformacji do zdefiniowania innego wektora.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Wzory:
Niech H będzie ortocentrum, czyli punktem, w którym przecinają się wszystkie trzy wysokości trójkąta. Wysokość biegnie od każdego wierzchołka na prostej prostopadłej do jego przeciwległej nogi.
Niech Q będzie środkiem okręgu, czyli punktem, w którym przecinają się prostopadłe dwusieczne wszystkich trzech boków trójkąta. Jest to środek okręgu opisanego, który jest okręgiem zawierającym wszystkie trzy wierzchołki trójkąta.
Teraz, trochę popracując, można teraz wywnioskować, że
\ quad \ begin {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Używając wierzchołków wspomnianego trójkąta jako wektorów, możemy przekształcić je w symetryczne wzory.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Zwróć uwagę, że nie ma pierwiastków kwadratowych ani trygonometrii e wymagane, aby znaleźć dwa centra.