Najlepsza odpowiedź
Dlaczego k jest używane jako stała proporcjonalności?
Nie tylko k . a, b, c, d, m, n, p, q to niektóre litery alfabetu łacińskiego, które są często używane jako stałe.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau i \ omega to niektóre często używane litery alfabetu greckiego jako stałe.
Wracając do pytania – nikt nie wie na pewno dlaczego. Jestem jednak głęboko przekonany, że k jest używane jako stała prawie wszędzie, ponieważ niemieckie słowo oznaczające „stałą” to konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . I zgadnij co? pierwszą literą tego słowa jest k . A Niemcy wnieśli ogromny wkład w matematykę od jej zarania.
Jestem przekonany, że w ten sposób, nie tylko stała proporcjonalności, k oznacza także określone stałe https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Na przykład – stała Boltzmanna , stała Sierpińskiego , Stała Khinchina , Stała Landau – Ramanujana – to tylko kilka z nich. Mogę się tylko domyślać, że oni (zainteresowani matematycy lub ci, którzy ich nazwali) byli świadomi i działali pod wpływem niemieckiego słowa konstante.
To wszystko. Dziękuję za przeczytanie.
Odpowiedź
To pytanie ładnie podkreśla, czym fizyka różni się od matematyki.
Pamiętaj, że celem dowolnego równania w fizyce, w tym drugiego prawa Newtona, jest po prostu modelowanie relacji „w świecie rzeczywistym”. Oznacza to , które wielkości wybieramy jako stałe, a które jako zmienne, zależą całkowicie od fizycznej sytuacji, którą równanie ma modelować.
Mając to na uwadze, przejdźmy do drugiego prawa Newtona. Sam Newton pierwotnie nie wyrażał swojego prawa w ten sposób. Zamiast tego wyraził to (słownie) jako
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Gdzie \ mathbf {F} to siła (uwaga, Siła jest wektorem), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} to szybkość zmian pędu \ mathbf {p} (również wektor).
To można to zinterpretować jako definicję siły, a zgodnie z tą interpretacją wstawianie stałej proporcjonalności nie ma sensu, ponieważ definicja ilości zwykle mówi w najbardziej bezpośredni sposób, jaka jest ta wielkość w kategoriach innej wielkości.
Jak napisano, jest to oczywiście zestaw trzech równań, które określają kierunek siły w przestrzeni. Jednak w wielu sytuacjach fizyka sytuacji jest taka, że interesuje nas tylko wielkość siły, a to upraszcza się do
F = \ frac {dp} {dt}
Teraz wielkość pędu jest określona przez p = mv. Najbardziej ogólnym wyrażeniem pochodnej czasowej tej wielkości jest
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Pierwszy człon po prawej stronie przedstawia obiekt poruszający się ze stałą prędkością, podczas gdy jego masa się zmienia, natomiast drugi reprezentuje obiekt o stałej masie poruszający się ze zmieniającą się prędkością. Otóż sytuacje, w których najczęściej jesteśmy zainteresowani modelowaniem przyjmują, że masa obiektu jest stała. To oznacza
\ frac {dm} {dt} = 0
I stąd pierwszy wyraz znika. Zostało nam
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
A teraz powinno być oczywiste: W tym równaniu stała proporcjonalności wynosi m .
Rzeczywiście, gdybyśmy chcieli modelować, powiedzmy, rakietę poruszającą się ze stałą prędkością, która traci masę (to znaczy jego masa zmienia się w czasie), ponieważ wyrzuca paliwo jako spaliny napędzające go do przodu, zamiast tego napisalibyśmy
F = v \ frac {dm} {dt}
Ponieważ stała prędkość oznacza
\ frac {dv} {dt} = 0
I stąd znika drugi człon w powyższym wyrażeniu ogólnym. Tak więc w tym równaniu stała proporcjonalności wynosi v.
Mam nadzieję, że to pokazuje, że cokolwiek uważamy za stała proporcjonalności zależy całkowicie od wydarzeń w świecie rzeczywistym i relacji między nimi. Na przykład m stało się stałą proporcjonalności między wielkościami siły i przyspieszenia właśnie dlatego, że chcieliśmy zamodelować sytuację, w której masa obiektu była stała.Podobnie, v stało się stałą proporcjonalności między wielkością siły i szybkością zmian masy w czasie właśnie dlatego, że chcieliśmy modelować tego rodzaju sytuację.
Pozwólcie, że porównam to z podejściem czysto matematycznym może wyglądać. Pamiętaj, że różnica polega teraz na tym, że tak naprawdę nie obchodzi nas, że równania modelują rzeczywistość, zależy nam tylko na tym, aby były spójne (i oczywiście, że prowadzą do nowej, interesującej matematyki). Więc robiąc tylko matematykę, mam całkowitą swobodę rozważania masy w dowolnych jednostkach. Aby to wyjaśnić, wybierzmy coś absurdalnego, na przykład „kropelki” jako jednostki masy. Aby zachować spójność (i tylko z tego powodu), muszę zdefiniować relację między obiektami blob a jednostkami standardowymi, takimi jak kilogramy. Powiedzmy, że definiuję
1 kilogram = 3 krople
Cóż, z moimi nowymi jednostkami muszę teraz wstawić stałą proporcjonalności do równania, ponieważ jednostki siły, niutony , nie ma w nich plamek. Zatem biorąc pod uwagę masę w jednostkach kropelek, w skrócie bb, F = ma staje się
F = \ frac {1} {3} kma
Gdzie
k = \ frac {1kg} {1bb} to moja stała proporcjonalności. Lub, jeśli jestem trochę bardziej skuteczny matematycznie, piszę
F = k „ma
Gdzie
k” = \ frac {1kg} {3bb } to moja nowa stała proporcjonalności, która właśnie pochłonęła stałą \ frac {1} {3}.
Chodzi o to, że te manipulacje są czysto matematyczne. Uwzględnione różnice nie mają nic wspólnego z relacjami w świecie rzeczywistym, które ma modelować równanie. Nie zawierają treści z zakresu fizyki i dlatego zasadniczo nigdy nie widzisz czegoś takiego *.
W większości sytuacji jedynymi stałymi proporcjonalności, które widzisz w fizyce, są te, które są narzucane nam przez fizykę sytuacji.
(* Mówię „zasadniczo”, ponieważ są pewne sytuacje, szczególnie w elektromagnetyzmie, gdzie takie problemy pojawiają się z powodu różnych tradycji przedstawiania wielkości, ale większość fizyków nie uważa ich za „problemy fizyczne” )