Najlepsza odpowiedź
To bardzo ważne pytanie.
Gdzieś przeczytałem, że jeden matematyk chciał się pozbyć stopnie całkowicie i po prostu używaj radianów!
Jeśli jesteśmy uczciwi i realistyczni, radiany stają się ważne tylko wtedy, gdy zaczniemy robić Rachunek.
Nie sądzę, aby ktokolwiek naprawdę wolał używać radianów w klasycznych zagadnieniach geometrii! Tylko kąty specjalne są ładnie reprezentowane jako wielokrotności π.
Kąty w radianach w postaci dziesiętnej są absolutnie okropne!
Kto chciałby mierzyć kąty za pomocą kątomierza ze skalą w radianach?
Uwagi Używam na ANGLE MEASUREMENT.
I naprawdę, naprawdę bardzo podoba mi się następujące podejście ……………
Mam nadzieję, że innym się spodoba, więc spróbuj!
NASTĘPUJĄCA „HISTORIA” JEST NAJBARDZIEJ WARTA. WYPRÓBUJ.
6. Starożytni Babilończycy zajmowali się mnóstwem matematyki i astronomii, a badając gwiazdy, odkryli, że każdej nocy znajdowali się w nieco innych pozycjach.
Ku swojemu zaskoczeniu odkryli, że po 360 dniach gwiazdy powróciły w tych samych pozycjach. (Właściwie to było naprawdę 365 dni, cały rok, ponieważ Ziemia przesunęła się dokładnie wokół Słońca z powrotem do pierwotnego położenia) Przy ograniczonej aparaturze było to niezwykłe, że otrzymali nawet 360 jako odpowiedź!
Liczba 360 stała się liczbą specjalną o potężnych właściwościach, więc po prostu WYBRAŁA tę liczbę, 360, jako liczbę działek, na które należy podzielić pełny obrót.
I nadal używamy 360 stopni = 1 pełny obrót , bez innego powodu !!!
7. W czasie rewolucji francuskiej zdecydowali się uczynić wszystko metrycznym, więc wybrali najbardziej powszechny kąt, KĄT PRAWY i pozwolili, aby było to 100 działek.
Nazwali te GRADS. Kąt prosty = 100 gradów, pół obrotu = 200 gradów, a pełny obrót = 400 gradów. (Popularne stały się metry, kg i litry, ale nie stopnie)
8. Właściwie wszystkie współczesne kalkulatory naukowe mają stopnie i gradacje !
10. RADIANY . TYLKO naprawdę dobrym powodem używania radianów jest moment, w którym zaczynamy
Różniczkowanie / całkowanie funkcji trygonometrycznych!
Definicja : 1 radian to kąt utworzony przez łuk kołowy składający się z 1 jednostki w kole.
o promieniu 1 jednostki.
Sposobem na zamianę radianów na stopnie jest rozważenie pełnego obrotu .
Uczniowie muszą mieć pewność, że zmieniają się z radów na stopnie i odwrotnie.
Specjalna „estetyka” radianów to po prostu mit!
Zarówno „radiany”, jak i „stopnie” to po prostu różne sposoby pomiaru kątów, tak jak „metry” i „stopy” to tylko różne sposoby mierzenia długości.
Wymaganie, aby uczniowie używali matematyka jest tworzona tylko w radianach bardziej niedostępne niż powinno być.
Musimy zdać sobie sprawę, że uczniowie (i większość matematyków, jeśli są uczciwi) naprawdę MYŚLĄ w stopniach!
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Mój następny punkt jest taki: Kto naprawdę myśli w radianach, aby mierzyć kąty?
Poproś dowolnego matematyka lub naukowca, aby zwizualizował kąt 4,7 radów.
Z drugiej strony poproś dowolnego 12-letniego ucznia, aby wyobraził sobie kąt 269 stopni, a oni z pewnością wymyślą następujący kąt:
Wykres y = sin x , gdzie x jest w stopniach, jest w porządku, tak jak jest.
skale na x i y osiach nie muszą być „ tym samym rzędem wielkości ”.
Po prostu używamy odpowiednie skale jak w przypadku innych typów wykresów!
Teraz jest BARDZO interesujący punkt .
Kiedy rysujemy wykres sinusoidalny ze „skalą radianową”, rysujemy to:
To jest absolutne oszustwo!
Naprawdę zaznaczamy punkty specjalne ponieważ występują w stopniach!
Nigdy nie pomyślelibyśmy o narysowaniu wykresu sinusoidalnego z PRAWDZIWYMI JEDNOSTKAMI RADIOWYMI w następujący sposób:
Punkt przecięcia z osią x i pozycje punkty max / min nie są wcale
ani nie są oczywiste, ani nie są w użytecznej formie!
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Ostatnia uwaga. Uważam, że rozwiązywanie równań trygonometrycznych za pomocą stopni jest znacznie bardziej sensowne dla uczniów w wieku 16 lub 17 lat niż narzucanie im radianów.
Zobacz, jak pięknie wygląda ta odpowiedź dla rozwiązania grzechu θ = ½ (w stopniach)
Odpowiedź
Dlaczego jedna jednostka jest kiedykolwiek lepsza od innej, która mierzy tę samą wielkość fizyczną?
Myślę, że są dwa sposoby, dzięki którym jedna jednostka może być lepsza. Po pierwsze, jedna jednostka jest lepsza od drugiej, jeśli można ją zdefiniować w prostszy, bardziej intuicyjny sposób. Na przykład stopień Celsjusza jest lepszy niż Fahrenheit, ponieważ został zdefiniowany przy użyciu 0 i 100 dla punktów zamarzania i wrzenia wody (odpowiednio). Fahrenheit jest teraz definiowany przy użyciu 32 i 212 dla tych samych wielkości (co wydaje się znacznie bardziej arbitralne). Historycznie definiowano ją za pomocą 0 jako punktu zamarzania solanki (tj. Mieszaniny soli / wody o dowolnie wybranym stężeniu) i 96 (lub może 100, w zależności od tego, komu zdecydujesz się wierzyć) jako typowej temperatury ciała człowieka. Trudno zaprzeczyć, że stopnie Celsjusza nie są zdefiniowane w bardziej rozsądny sposób. Jednak codzienne używanie stopni Fahrenheita nie jest mniej wygodne (a prawie wszyscy w USA nadal to robią).
Po drugie, jedna jednostka jest lepsza od drugiej, jeśli jest lepsza do konwersji i obliczenia podczas pracy z interesującymi wartościami. Na przykład metry są lepsze niż jardy (nawet jeśli są bardzo zbliżone do tej samej odległości), ponieważ znacznie łatwiej jest przeliczyć metry na centymetry lub kilometry niż z jardów na mile lub cale. Miernik nie jest lepiej zdefiniowany (ani historycznie, ani nowocześnie), jest to po prostu łatwiejsza jednostka do skalowania.
Radiany są lepsze niż stopnie z obu tych powodów. Stopień jest (zasadniczo) zdefiniowany jako \ frac 1 {360} całkowitego łuku koła. Ta wartość 360 wydaje się dość arbitralna. Dlaczego zamiast tego nie 100 (lub 256 dla entuzjastów binarnych)? Z drugiej strony radian jest definiowany jako kąt okręgu, na który nałożony jest łuk o długości równej promieniu. Ta definicja jest znacznie mniej arbitralna niż definicja stopnia, więc można by twierdzić, że jest to lepsza jednostka wyłącznie ze względu na sposób jej zdefiniowania. Jednak radiany są również lepsze ze względu na łatwość, z jaką odległości można zamienić na kąty i odwrotnie.
Na przykład w okręgu o promieniu 3 metrów, jaki jest kąt wyznaczony przez łuk długości 1,8 metra? Odpowiedź to \ frac {1.8} 3 = 0,6 radiana. Aby odpowiedzieć na to pytanie w stopniach (bez robienia tego najpierw w radianach, a następnie konwersji), obliczenia wyglądałyby tak.
Okrąg ma obwód 6 \ pi metrów. Stopień to \ frac {1} {360} okręgu, więc stopień odpowiada \ frac {6 \ pi} {360} metrom. Zatem liczba stopni na 1,8 metra to \ frac {1.8} {\ frac {6 \ pi} {360}}.
Oczywiście radian jest ładniejszą jednostką dla tego rodzaju konwersji. W rzeczywistości najlepszym sposobem na znalezienie liczby stopni zależnych od łuku 1,8 metra jest stwierdzenie:
Liczba radianów wynosi tylko \ frac {1.8} 3 = 0,6, a konwersja z radianów na stopnie to \ frac {360 ^ o} {2 \ pi \ text {rad}}, więc odpowiedź to \ frac {360} {2 \ pi} \ cdot 0,6 stopnia.
Należy jednak zauważyć, że są inne pytania, dla których stopień jest przyjemniejszą jednostką. (W przeciwnym razie, dlaczego ktokolwiek miałby kiedykolwiek wymyślić stopień?) Typowe pytanie tego typu brzmi: „Jaki kąt stanowi jedna czwarta koła?” Dobrą konsekwencją wyboru 360 w definicji stopnia jest to, że ma on dużą liczbę czynników całkowitych. Jeśli chcesz poznać jedną czwartą koła, po prostu podziel 360 przez 4, aby uzyskać 90 stopni. Jeśli chcesz poznać jedną dwunastą okręgu, podziel 360 przez 12, aby otrzymać 30 stopni. Nie jest trudniej odpowiedzieć na to samo pytanie za pomocą radianów, ale nie można uzyskać ładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Jedna czwarta okręgu to \ frac {2 \ pi} 4 radiany. Jedna dwunasta okręgu to \ frac {2 \ pi} {12} radianów. Większość ludzi czuje się lepiej z 30 niż z \ frac \ pi 6.
Dlatego stopnie są bardziej przydatne do odpowiedzi na niektóre pytania, a radiany są bardziej przydatne dla innych. To, co jest lepsze, zależy od tego, jakie rodzaje obliczeń i konwersji wykonujesz częściej.Matematycy DRASTYCZNIE preferują radiany, ponieważ odpowiedzi na pytania, na które są zainteresowani, są łatwiejsze przy użyciu tych jednostek. Dziesięcioletnie dzieci (a właściwie większość dorosłych na całym świecie) zdecydowanie wolą stopnie naukowe, ponieważ odpowiedzi na pytania, na które najczęściej odpowiadają, są łatwiejsze w tej jednostce.