Najlepsza odpowiedź
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
odpowiedzi
Podstawową rzeczą dziesiętnych jest to, że jest to tylko jeden z wiele formularzy używanych do reprezentowania liczb. Jest to jednak tak powszechna forma, że wielu (bez własnej winy) kojarzy liczbę z samą formą. A jeśli dwie liczby mają dwie różne formy, to muszą być różnymi liczbami, prawda?
Ale co z następującymi dwiema liczbami:
\ Displaystyle {\ qquad \ Frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
Zupełnie inne reprezentacje , ale wykonując niezbędne obliczenia / anulowania, prawie na pewno uwierzysz mi, że te dwa formularze reprezentują tę samą liczbę .
Dlaczego?
Ponieważ kiedy uczymy się ułamków, uczymy się od bardzo wczesnego etapu, że dwie frakcje mogą być tą samą liczbą i że znajdują się w forma zredukowana , jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników przekraczających 1.
I trzymamy się tego.
Jesteśmy o tym przekonani przez doświadczenie i powtórzenie tego doświadczenia i możemy użyć różnych form, aby zweryfikować to doświadczenie.
Nie tyle z „liczbami dziesiętnymi”, nie mówiąc już o innych pozycjach .
Ciekawą rzeczą w dziesiętnych reprezentacjach liczb jest to, że dla większości liczb (w pewnym sensie technicznym) forma dziesiętna jest rzeczywiście wyjątkowy (ale w większości tych przypadków – w tym samym sensie – opisywanie wszystkich szczegółów jest niepraktyczne, powiedzmy to w ten sposób).
Jest jednak kilka wyjątków. Przez „kilka” rozumiem, że w porównaniu do całej „partii” liczb, które w zasadzie (jeśli nie w praktyce) można zapisać w systemie dziesiętnym.Wyjątkiem są liczby, które są racjonalne, a ich mianowniki (w postaci zredukowanej) mają tylko potęgi 2 i / lub potęgi 5.
Narzędzie, które musisz zrozumieć, jest istotą zbieżnego szeregu geometrycznego.
Zbieżny (nieskończony) szereg geometryczny to seria postaci
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Gdy szereg kończy się po pewnej skończonej liczbie wyrazów o największej potędze N, dość łatwo potwierdzić, że seria sumuje się do
\ Displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ Frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
i pytamy, co to znaczy mieć nieskończoną sumę. Konwencjonalna definicja mówi, że terminy stają się mniejsze na tyle szybko, że całkowita wartość zbliża się do skończonej granicy, gdy N staje się arbitralnie duże. Zbadanie tego pomysłu prowadzi nas do warunku, zgodnie z którym wspólny stosunek r musi leżeć między (ale nie być żadnym) -1 i 1. Lub, | r | , równoważne -1 .
Wtedy formuła staje się
\ Displaystyle {\ qquad S = \ Frac {a} {1-r},}
jako termin r ^ N \ to0.
Teraz przypomnij sobie, jak zdefiniowano zapis dziesiętny: tak naprawdę jest to po prostu skrót dla serii postaci
\ Displaystyle {\ qquad \ rozpocząć {wyrównanie *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
gdzie k to największa niezerowa potęga dziesięciu, która jest mniejsza od liczby, a a\_i, b\_j to cyfry dziesiętne (liczby całkowite od zera do dziewięciu).
Liczba 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 to liczba w tej postaci, gdzie k = 0 i a\_0 = 9 = b\_j dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych j. Na szczęście daje nam to dokładnie postać szeregu geometrycznego! (Zwróć uwagę, że każda liczba w postaci dziesiętnej, w której cyfry są różne od 9 po prawej, jest ograniczona powyżej serią, taką jak ta.)
Możemy po prostu podłączyć: pierwszy termin to a = 9 , a wspólny stosunek to r = \ frac {1} {10} . Więc od razu wiemy, że ta seria jest zbieżna!
Otrzymujemy
\ Displaystyle {\ qquad S = \ Frac {9} {1- \ Frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Bardzo fajnie.
Istnieją oczywiście inne sztuczki, można użyć, aby udowodnić, że 9. \ dot9 = 10 (w każdym razie dziesiętnie…), ale najlepszą rzeczą (moim zdaniem) jest zrozumienie czegoś o tym, co oznacza zapis i jak działa – a wtedy łatwo jest się z nim uporać z faktem, że nawet w notacji pozycyjnej nie każda liczba jest reprezentowana tylko w jeden sposób.
Ogólnie, jeśli mamy prawidłową podstawę b, liczba reprezentowana w tej bazie pozycyjnej w postaci 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots jest zawsze równe 1. Zatem w postaci binarnej (na przykład), gdzie 0,1 = \ frac {1} {2}, mamy 0,111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. „Metoda” serii nieskończonej działa w ten sam sposób, aby udowodnić ten wynik.