Najlepsza odpowiedź
Można odpowiedzieć na trzy sposoby.
- 2,00,00,000 – To jest 2 crore. Liczba zer to 7.
- 2 Crore – brak zer. Tylko 2 i Crore, wciąż crore ma „o”, nie można uznać za zero.
- 2,00,00 000 oznacza, zera w liczbach ub = 2,00,00 000 pochodzi z zakres ujemnej nieskończoności do 2 crore. Super komputery również nie mogą obliczyć liczby zer w powyższym zakresie.
Odpowiedź
Pytanie: „Dlaczego jakakolwiek liczba jest podnoszona do potęgi zera równa jeden ale zero podniesione do potęgi zera nie daje odpowiedzi? ” jest wewnętrznie sprzeczne. Twierdzi, że dowolna liczba (bez określenia, co stanowi liczbę) podniesiona do wykładnika 1 bez żadnego wyjątku (na przykład za pomocą tekstu typu „dowolna liczba z wyjątkiem \_\_\_”), a następnie stwierdza, że 0⁰ „nie daje odpowiedzi”. Cóż, ponieważ 0 jest liczbą, pierwsze twierdzenie oznacza 0⁰ = 1, podczas gdy drugie twierdzenie mówi, że 0⁰ jest nieokreślone – nie możemy mieć obu prawdziwych.
W rzeczywistości pierwsze twierdzenie powinno być uważane za bezwarunkowo prawdziwe i drugie twierdzenie jako fałszywe; dlatego 0⁰ = 1.
Zwykłe argumenty żądające, aby 0 było traktowane jako nieokreślone:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, co jest nieokreślona, więc 0⁰, dla którego wykazano, że jest równe 0/0, również musi być niezdefiniowane. (Można zastąpić 1 dodatnią wartość). Jest to próba zastosowania prawa podziału władzy, ale jest to próba nieważna. Odpowiednie prawo podziału kompetencji nie jest po prostu x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, ale zawiera ograniczenia lub warunki, które należy określić i przestrzegać. Jednym z kilku ograniczeń jest to, że żadna część stosowania tego prawa podziału kompetencji nie może obejmować dzielenia przez 0 lub odwrotności 0. To ograniczenie zostało naruszone, więc nie wolno nam pisać 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Ponieważ nie ma równości dla środkowego kroku, nie możemy powiedzieć, że lewy koniec równa się prawemu końcowi. Tego samego niepoprawnego argumentu można użyć, aby udowodnić, że 0³ jest niezdefiniowane, co, jak wiemy, jest nonsensem: 0¹ = 0 z definicji wykładnika 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, co jest niezdefiniowane.
- x ^ 0 = 1 dla wszystkich niezerowych x . 0 ^ x = 0 dla wszystkich niezerowych x . Jeśli pozwolimy x = 0, powyższe stwierdzenia implikują 0⁰ = 1 i 0⁰ = 0, co jest sprzecznością, więc 0⁰ musi być niezdefiniowane. Kiedy ludzie argumentują, nie zastanawiają się wystarczająco długo, aby pomyśleć o tym, co mówią. Druga instrukcja jest ważna tylko dla dodatniej liczby rzeczywistej x . Nieprawidłowe jest stwierdzenie „dla wszystkich niezerowych x ” dla drugiej relacji. Jednak pierwsza relacja jest rzeczywiście ważna dla ujemnej liczby rzeczywistej x , a także dla dodatniej liczby rzeczywistej x oraz poza tym, pierwsza relacja jest prawdziwa dla wszystkich niezerowych zespołów i kwaternionów x , czego druga relacja nie może powiedzieć. Nie ma sensu przypisywanie równej wagi przypadkowi, który działa tylko dla dodatnich wartości rzeczywistych, przypadkowi, który działa dla wszystkich niezerowych wartości rzeczywistych, złożonych i kwaternionów – znacznie szersza ogólność tych ostatnich jest wiele warta. Ponadto w przypadku drugiej relacji x = 0 rozpatrywanych przypadków znajduje się na granicy między znaczącymi i nieistotnymi przypadkami, więc dlaczego mielibyśmy zakładać, że znaczące przypadki czy te, które mają zastosowanie i które są stosowane bez korekty?
- Limit x ^ y jako x i y niezależnie podejście 0 nie istnieje, ponieważ wartość trendu zależy od ścieżki podejścia x i y w kierunku 0 – istnieje szeroki zakres możliwych wartości. (Czasami ten argument jest połączony z punktem 2 powyżej). Problem z tym argumentem polega na tym, że to, czy funkcja jest zdefiniowana w punkcie, a jeśli tak, jaka jest wartość, jest niezależne od tego, czy funkcja ma granicę zbliżającą się do tego punktu i jeśli tak, jaka jest wartość tego limitu. Jest całkiem możliwe, że żadne z nich nie istnieje; jest całkiem możliwe, że jeden z nich istnieje, a drugi nie; jest całkiem możliwe, że istnieją oba, w takim przypadku te dwie wartości mogą być takie same lub nie. W rezultacie fakt, że x ^ y nie ma limitu jako x i y podejście 0 nie mówi nic o tym, czy 0⁰ jest zdefiniowane czy nieokreślone. Dyskusja na temat granic w odniesieniu do tego, czy 0⁰ ma wartość, jest całkowicie nieistotna.Funkcja signum jest przykładem funkcji z ograniczeniem zależnym od ścieżki, ponieważ x zbliża się do 0, ale zdefiniowano sgn 0 – w szczególności sgn x jest zdefiniowane jako 1 dla dodatniej liczby rzeczywistej x , 0 dla x = 0 i −1 dla ujemnej liczby rzeczywistej x , więc x zbliżając się do 0 od lewej daje granicę −1 i x zbliżając się do 0 od prawej daje wartość 1, przy czym konflikt oznacza, że granica nie istnieje, mimo że sgn 0 = 0. Taki brak limitu nie uzasadnia twierdzenia, że sgn 0 musi być niezdefiniowane.
To eliminuje najczęstsze argumenty, które są używane do uzasadnienia uznając 0⁰ za nieokreślone, więc teraz pojawia się pytanie, jaka, jeśli w ogóle, wartość 0⁰ powinna być zdefiniowana jako?
Podstawowy argument dotyczy zasady operacji zerowej stosowanej do mnożenia ication. Iloczyn żadnych czynników należy traktować jako tożsamość multiplikatywną 1; symbolicznie \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (Do obliczania x ⁰, x\_i = x; do obliczania 0 !, x\_i = i.) Ta właściwość nie zależy od tego, czy wszystkie kandydujące x\_i są niezerowe, czy niektóre są niezerowe, a niektóre mają wartość 0, lub wszystkie są równe 0. Nie ma wyjątków. Mamy więc 0! = 1 i mamy x ⁰ = 0 bez ograniczeń dla wszystkich kwaternionów (nie tylko wszystkich liczb rzeczywistych, nie tylko wszystkich liczb zespolonych), więc 0⁰ = 1.
Drugim kluczowym kryterium jest użyteczność. Matematycy definiują rzeczy, ponieważ są przydatne w ich badaniach. Jeśli definicja nie jest użyteczna, nie ma sensu jej tworzyć, więc czy 0⁰ = 1 jest rzeczywiście przydatna, poza punktem widzenia reguły pustego produktu? Odpowiedź brzmi: tak. Weź szereg potęg dla \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matematycy udowodnili, że ten szereg potęg jest zbieżny dla wszystkich liczb zespolonych x i że wynikiem jest rzeczywiście \ text {e} ^ x. Ponieważ 0 jest liczbą zespoloną, a ta potęga działa dla wszystkich liczb zespolonych, musi działać dla x = 0. Najpierw rozwińmy sumowanie: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. A więc co się stanie z x = 0? Mamy: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Wiemy, że 0 podniesione do dodatniego wykładnika to 0, co ma zastosowanie do wszystkich wyrażeń oprócz pierwszego po prawej stronie znaku =; wszystkie te określenia nic nie robią, więc mogą zniknąć. Wiemy także, że każda niezerowa liczba zespolona podniesiona do wykładnika równego 0 jest równa 1, a e jest niezerową liczbą zespoloną, więc \ text {e} ^ 0 = 1. Dlatego mamy teraz: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matematycy zgadzają się, że 0! = 1 (reguła pustego produktu). Dlatego 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Spójrz na to, co właśnie ustaliliśmy: 0⁰ = 1. Aby ten szereg potęg działał, musimy albo zdefiniować 0⁰ jako 1, albo napisać specjalne zastrzeżenie z szeregami potęg, do których ma zastosowanie i tylko dla niezerowej liczby zespolonej x i wyraźnie osobno stwierdza, że e⁰ = 1. Po co taka niepotrzebna komplikacja wyrażania szeregu potęgowego tylko po to, aby uniknąć zdefiniowania 0⁰ = 1 bez merytorycznego powodu?
To samo dotyczy wielu innych szeregów potęgowych, wielomianów, twierdzenia o dwumianach, różnych zagadnień kombinatoryjnych i innych zastosowań. Istnieje wiele przypadków znacznego uproszczenia i uogólnienia, które występują wtedy, gdy definiujemy 0⁰ = 1.
Nie ma przypadków, w których pomocne byłoby uznanie 0⁰ za jakąś wartość inną niż 1 lub traktuj 0⁰ jako niezdefiniowane. Najbliższa sytuacja, jaka się pojawia, występuje w pewnych sytuacjach w badaniach rzeczywistych, w których pomocne jest posiadanie ciągłości funkcji w całej ich domenie. Z powodu problemów z limitami dla x ^ y zbliżającymi się (0; 0), powoduje to nieciągłość x ^ y w (0; 0), niezależnie od tego, czy samo 0⁰ jest zdefiniowane, a jeśli tak, to do jakiej wartości. Wycofanie punktu z domeny jest efektywnym traktowaniem funkcji jako niezdefiniowanej w tym momencie. Jednak tylko dlatego, że wyciągnięcie (0; 0) z domeny x ^ y jest pomocne dla twoich badań, nie oznacza to, że należy to zrobić we wszystkich aspektach matematyki. Być może będę musiał poradzić sobie z funkcjami bijektywnymi, aby wspierać odwracalność. Jeśli pracuję z x ² i potrzebuję odwracalności, muszę ograniczyć domenę do czegoś w rodzaju zbioru nieujemnych liczb rzeczywistych, co oznacza dla moich celów, że (- 3) ² jest nieokreślona, co byłoby absurdalnym ograniczeniem, które można by ci narzucić; podobnie, niektórzy matematycy, którzy potrzebują 0⁰ nieokreślonego, nie oznaczają, że jest to ograniczenie nałożone na wszystkich matematyków.W rzeczywistości zasada pustego iloczynu dominuje w kontekście wykładników całkowitych, podczas gdy problemy z ciągłością występują tylko w kontekście wykładników rzeczywistych. Jednym z możliwych rozwiązań jest przyjęcie 0⁰ = 1, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą 0, ale jest niezdefiniowany, wykładnik jest liczbą rzeczywistą 0; jeśli brzmi to dla ciebie dziwnie, że odpowiedź zależy od tego, czy wartość jest uważana za liczbę całkowitą w porównaniu z bardziej ogólną liczbą rzeczywistą, nie jest to unikalne dla 0⁰ dla funkcji potęgowej, ponieważ (-8) ^ {1/3} to uważane za −2, jeśli −8 jest uważane za liczbę rzeczywistą, ale za 1 + i√3, jeśli −8 jest uważane za liczbę zespoloną. Funkcja potęgi x ^ y wygląda tak prosto, ale zachowuje się naprawdę nieprzyjemnie.