Najlepsza odpowiedź
Jak duża jest liczba Rayo w porównaniu z liczbą Grahama? Jest większy. Dużo większy. Został tak zaprojektowany.
Liczba Grahama jest ogromna. Jest o wiele większa niż zwykłe duże liczby, takie jak Googolplex , że zrozumienie, o ile jest większy, może być dość kłopotliwe. Jednak w dziedzinie ogromnych liczb liczba Grahama nie jest wyjątkowa. Istnieją całe zbiory liczb, które zostały wyobrażone, że są równie zagmatwane, jak liczba Grahama, podobnie jak liczba Grahama jest sama w sobie duża. Pamiętaj, że liczba Grahama nie została wymyślona jako szczególnie duża; w rzeczywistości powstała w celu znalezienia najmniejsza górna granica problemu matematycznego (i od tego czasu znaleziono znacznie mniejsze górne granice tego problemu!). Jedyną wyjątkową rzeczą w Liczbie Grahama było to, że w tamtym czasie , była to największa liczba użyta w znaczącym dowodzie matematycznym lub wyprowadzeniu.
Inne liczby, które opuszczają liczbę Grahama daleko w tyle zostały wyprowadzone lub użyte w znaczących dowodach. Jednym z przykładów jest TREE (3) , ale jest też wiele innych.
Liczba Rayo trochę różni się od tych wszystkich. Widzisz, liczba Rayo została opracowana specjalnie po to, by być potwornie ogromną liczbą. Jest praktycznie z definicji większa niż jakakolwiek inna liczba, którą mamy Jest o tyle większy niż którykolwiek z nich, że nawet nie wiemy dokładnie, jak duży jest: ale znamy sporo przerażająco wielkich liczb, od których wiemy, że musi być większy!
Oczywiście, nawet numer Rayo nie jest w żadnym sensie „największą liczbą”. Nie ma czegoś takiego. Zawsze możemy dodać jeden do dowolnej liczby i uzyskać o jeden nieco większy. Możemy podnieść dowolną liczbę do własnej potęgi i uzyskać jeden trochę większy. Ale obecnie uważa się, że liczba Rayo jest największą liczbą skończoną, której nadano nazwę (z wyjątkiem trywialnych rozszerzeń, takich jak Rayo-Number-plus-one i tym podobne).
Odpowiedz
Numer Rayo i jest znacznie większa.
Wyjaśnię, czym jest liczba Rayo, a potem zrozumiemy, dlaczego jest znacznie większa niż liczba Grahama.
Jest taki stary paradoks, który wygląda mniej więcej tak: Niech N będzie zdefiniowane jako „Najmniejsza dodatnia liczba całkowita, której nie można zdefiniować w co najwyżej dwunastu angielskich słowach”.
Można by zapytać, czym jest N?
Cóż, cokolwiek to jest N, to jest wyraźnie definiowalna w co najwyżej dwunastu angielskich słowach, a mianowicie w słowach „Najmniejsza dodatnia liczba całkowita, której nie można zdefiniować w co najwyżej dwunastu angielskich słowach”. Ale to jest sprzeczność, ponieważ z definicji N nie jest definiowane przez dwanaście angielskich słów.
Paradoks! SpoooOoOoOky!
Rozwiązanie tego paradoksu, poza faktem, że „angielski” jest ogólnie niejasny, jest takie, że „definiowalny” jest szczególnie źle zdefiniowany. Jeśli to, które liczby można zdefiniować, zależy od słowa „definiowalne”, którego znaczenie zależy od tego, które liczby są definiowalne, otrzymamy okrągłą definicję, której nie można rozwiązać.
Dlaczego poruszyłem ten paradoks?
Numer Rayo można postrzegać jako „sformalizowanie” powyższego; używa raczej języka matematycznego niż angielskiego i uściśla pojęcie „definiowalności”. Liczba Rayo to
„Najmniejsza dodatnia liczba całkowita większa niż dowolna skończona dodatnia liczba całkowita nazwana wyrażeniem w języku zbioru pierwszego rzędu teoria z symbolami googol lub mniej. ”
Teoria zbiorów pierwszego rzędu – tutaj, oznaczająca„ logikę pierwszego rzędu w dziedzinie wszechświata von Neumanna , który jest modelem teorii mnogości Zermelo – Fraenkla ”- jest precyzyjnym językiem matematycznym. To język formalny ma tę właściwość, że nie może cyklicznie zakodować tego samego zdania i stworzyć paradoksu. (Możesz opisać aksjomaty ZFC w logice pierwszego rzędu, a nawet opisać mechanizm oceny dowodów i tak dalej, ale możesz nie może stworzyć wewnątrz siebie wszechświata von Neumanna.)
Dlaczego więc to jest większe niż liczba Grahama?
Cóż, liczba Grahama nie jest trudna do zdefiniowania, możesz przeczytaj definicję w Wikipedii i jest całkowicie elementarna, jeśli chodzi o up arr notacja ow, która jest definiowana przez potęgowanie. Oczywiście możesz zakodować liczbę Grahama używając najwyżej, powiedzmy, 10 000 symboli. Jestem tutaj konserwatywny. A liczba Grahama nie jest nawet bliska największej liczbie, jaką można zdefiniować w 10 000 symboli. Ale liczba Rayo jest większa niż jakakolwiek liczba, którą można zdefiniować za pomocą symboli googol = 10 ^ {100}. To potwornie większe niż liczba Grahama! W rzeczywistości teoria zbiorów pierwszego rzędu może mówić o maszynach Turinga, więc liczba Rayo jest znacznie większa nawet niż, powiedzmy, BusyBeaver (niezależnie od dużej liczby, o której myślisz).