Najlepsza odpowiedź
Zacznij od rozwiązania. Na przykład, jeśli chcesz, aby rozwiązaniem było x = 1, odpowiadający współczynnik będzie x – 1. Ponieważ jest to jedyne rozwiązanie, będą musiały być oba czynniki, co tworzy równanie
( x – 1) (x – 1) = 0
lub
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Odpowiedź
Rozwiązania równania kwadratowego to dwa punkty, w których wykres przecina oś x. To znaczy, że to dwie wartości x dają zero y na wykresie.
Otrzymujemy te punkty, rozkładając równanie na czynniki. Najpierw przepisujemy równanie do postaci 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Jeśli jest to dość proste, możemy wziąć pod uwagę prawą stronę, patrząc na to. Na przykład, jeśli równanie wygląda następująco: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, przy pewnej praktyce możesz rozpoznać, że składa się to na 0 = (x + 3) (x + 4).
Powód Faktoring jest tak ważny, że jeśli iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeden z terminów MUSI wynosić zero. Tak więc, ponieważ mamy 0 po lewej stronie i iloczyn po prawej stronie (x + 3) (x + 4), jeden z tych terminów musi wynosić zero.
Zatem albo x + 3 = 0, lub x + 4 = 0. Możemy znaleźć x w obu przypadkach i otrzymujemy x = -3 lub x = -4. Oznacza to, że wykres naszego równania przecina oś x w dwóch punktach, -3 i -4, więc wykres tego równania jest parabolą (wszystkie równania kwadratowe są parabolami) przesuniętą w lewo iw dół, więc te dwa ramiona paraboli przecinają oś X przy -3 i -4.
Czasami nie jest łatwo rozłożyć równanie na czynniki pierwsze, patrząc na nie. W takim przypadku możemy użyć wzoru kwadratowego. (Naprawdę fajnie jest wyprowadzić wzór kwadratowy – jeśli nie wiesz jak i chcesz, żebym ci pokazał, po prostu zapytaj.)
Oto wzór kwadratowy:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Aby to przetestować, jeśli podłączymy a, b i c z naszego równania, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, a następnie a = 1, b = 7, c = 12 i podłączając się do wzoru otrzymujemy:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} i \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 i \ frac {-8} {2} = -4. Więc zadziałało!
OK, wszystko to jest wstępem do twojego pytania. Twoje pytanie brzmi: kiedy są rozwiązania równania kwadratowego nieskończoności. Cóż, zastanówmy się, co to oznacza. Przede wszystkim jest jasne, że nie jest możliwe, aby jedno rozwiązanie było nieskończone, ale drugie rozwiązanie było skończone. Gdyby tak było, mielibyśmy pewną skończoną liczbę pomnożoną przez nieskończoność, która nie może równać się zeru.
Zatem pytanie brzmi: czy jest możliwe dla obu rozwiązania do nieskończoności? Jak by to wyglądało?
We wzorze kwadratowym jedynym sposobem, aby uzyskać nieskończoność, byłoby to, gdyby a = 0. Wtedy mianownikiem byłoby zero, a zatem całe równanie byłoby „nieskończonością”. Ale jeśli a = 0, to równanie nie jest już kwadratowe, jest liniowe, prawda? Na przykład 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 to to samo, co 0 = 7x + 12. To tylko linia, jest liniowa, a nie kwadratowa. Ale każda linia przecina gdzieś oś X, prawda? Nie dzieje się tak tylko wtedy, gdy jest równoległa do osi X. To znaczy, kiedy ma nachylenie równe 0. To oznacza, że b = 0. Więc teraz mamy 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Innymi słowy, 0 = c. Ale wtedy c = 0
Innymi słowy, nie ma takiego równania. Jak powiedziała druga odpowiedź, wszystkie równania kwadratowe przecinają oś x w skończonym punkcie. (Zauważ, że te punkty niekoniecznie są rzeczywiste! Jeśli b ^ 2 – 4ac jest ujemne, to równanie w rzeczywistości ma urojone pierwiastki. Ale nadal są skończone.)