Najlepsza odpowiedź
W złotym współczynniku znajdują się dwie wielkości, jeśli ich stosunek jest taki sam jak stosunek ich sumy do większej z dwóch wielkości.
Jeśli teraz, jeśli a i b (b> a) będą dwiema wielkościami w złotym stosunku, to
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
Wzór kwadratowy pokazuje, że
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ około 1,618 \ tag * {}
(Drugie rozwiązanie daje \ frac {a} {b} lub \ varphi ^ {- 1} )
Jak wspominali inni, stosunek między dwiema kolejnymi liczbami Fibonacciego również jest przybliżeniem \ varphi.
W rzeczywistości dla dowolnej sekwencji spełniającej relację powtarzania (z wartościami początkowymi A\_0, A\_1 nie oba 0 ponieważ stałoby się to stałą sekwencją ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Limit \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} as n \ do 0 podejść \ varphi .
Można to udowodnić, pozwalając L być granicą,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Korzystając z powtarzania,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Ponownie mnożąc przez przez L i używając wzoru kwadratowego możesz pokazać, że
L = \ varphi \ tag * {}
Odpowiedź
Konstrukcja według kompasu i linijki
Scott Beach opracował sposób przedstawiania tego obliczenia phi w konstrukcji geometrycznej:
Jak Scott podzielił się jego strona internetowa: Trójkąt ABC to prawy tria ngle, gdzie miara kąta BAC wynosi 90 stopni. Długość boku AB wynosi 1, a boku AC 2. Twierdzenie Pitagorasa może być użyte do ustalenia, że długość boku BC jest pierwiastkiem kwadratowym z 5. Bok BC można przedłużyć o 1 jednostkę długości, aby ustalić punkt D. Segment linii DC można następnie podzielić na pół (podzielić przez 2) w celu ustalenia punktu E. Długość odcinka linii EC jest równa Phi (1,618…).
Phi nomenalne!
Źródło: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/