Najlepsza odpowiedź
Istnieje kilka sposobów rozwiązania równania kwadratowego. Możesz użyć funkcji solver Add-In. Nie jestem zbyt zaznajomiony z tym, jak to działa, ale jest to sugestia dla Ciebie.
Inne sposoby, które znam, to tworzenie tabeli lub jej wykres.
Załóżmy, że mamy proste równanie: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Teraz wiemy, że jeśli rozliczymy to, otrzymamy (x + 5) (x + 2) = 0, to znaczy x = -2, -5. Ale jednocześnie możemy użyć tego jako przewodnika, aby zobaczyć, jak sprawdzić nasze rozwiązanie w programie Excel.
Pierwszą rzeczą, jaką możemy zrobić, jest utworzenie tabeli Excela. Lubię konfigurować tabelę w programie Excel. Mam wartości x w lewym zakresie od -50 do 50. Następnie mogę po prostu podłączyć równanie jako takie:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
lub
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] w zasadzie jest odwołaniem do komórki dla wartości x w kolumnie (wkrótce przedstawię ci obraz, jak to działa).
Jeśli spojrzysz na równanie, które otrzymaliśmy wcześniej, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Oznacza to, że ustawiamy y = 0 (ponieważ całe równanie to y). Oznacza to, że jeśli chodzi o tabelę Excela, musimy szukać wartości x po lewej stronie, które będą miały 0 obok krawędzi w kolumnie y. Obserwuj poniżej:
Jeśli zauważysz, mamy dwa wartości, które mają obok siebie zero, -2 i -5. To są rozwiązania równania.
Innym przykładem może być narysowanie twojego równania. Tutaj możemy użyć naszej tabeli Excela jako danych serii do wykreślenia punktów.
Wykreślenie punktów na wykresie nie sprawi, że będzie to od razu oczywiste. Być może będziesz musiał dostosować minimum i maksimum osi. Na moim wykresie dostosowałem oś X, aby zawierała się w zakresie od -10 do 5, a oś Y od -10 do 10.
Jeśli zauważysz, wykres przecina x = -2 i przecina x = -5. Więc mogliśmy rozwiązać równanie również graficznie.
Odpowiedź
Rozumiem, że masz na myśli „trudne do rozłożenia na czynniki”. Rozważmy ogólne wyrażenie ax ^ 2 + bx + c.
Aby to „rozwiązać”, ustawiamy to na 0, otrzymujemy więc ax ^ 2 + bx + c = 0. Znajdź x jest twoim obowiązkiem.
Boże, byłoby NAPRAWDĘ pomocne, gdyby istniało proste rozwiązanie, które działałoby dla wszelkich ogólnych współczynników. Na szczęście dla nas jest i jest to dość łatwe do znalezienia (nie próbuj tego robić z równaniami sześciennymi lub wyższymi, możesz spróbować je znaleźć, ale na tym poziomie jest BARDZO trudny do znalezienia).
Dlatego chcemy to dokładnie przemyśleć. Jaki jest problem z rozwiązywaniem tutaj x?
W normalnym równaniu liniowym, takim jak ax + b = 0, jest to łatwe. x to jedno wystąpienie. Problem z kwadratami polega na tym, że brzydki format ax ^ 2 + bx, ponieważ nasza strategia odejmowania stałej i dzielenia w celu uzyskania x nie działa, musimy to zniekształcić i nie możemy łatwo użyć faktoringu, ponieważ zawsze będzie deficyt „x” równy jeden, jeśli spróbujemy wyliczyć je przez x lub x ^ 2.
Cóż, do cholery, co w takim razie zrobimy? Mamy część do kwadratu, co musi oznaczać, że musimy w jakiś sposób uzyskać coś do kwadratu, na przykład (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, gdzie możemy później dodać jak f, aby była stałą, którą możemy łatwo odjąć, tak jak przykład równania liniowego. Oczywiście, musi gdzieś zawierać pojedyncze x, ale musimy również dodać stałą do części x, ponieważ właściwość dystrybucji będzie zmieniać stałą z x i robi to również z x i sobą oraz stałą, tworząc liczbę pojedynczą x, bez wykładnika. Będziemy wtedy mogli obliczyć pierwiastek kwadratowy ze wszystkich stałych, które mamy po drugiej stronie, a następnie rozwiązać to jak równanie liniowe.
A więc zajmijmy się tą pozycją.
Dzielimy nasze pierwotne równanie po obu stronach przez a, więc mogę otrzymać „czysty” x ^ 2 i nie muszę używać \ sqrt {a} jako współczynnika, który będzie bardziej skomplikowany.
Otrzymujemy x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
OK, więc nasza forma? musi wynosić x + k, ponieważ nie może być współczynnika x, który nie jest jednym, ponieważ rozkład nie dałby „czystego” x ^ 2. Co to jest k? Cóż, zastanówmy się przez chwilę – chcemy wymusić sposób na uzyskanie hx = \ frac {b} {a} x. Za każdym razem, gdy coś podważam i są do niego dodane dwa wyrazy, muszę użyć dystrybucji, aby przejść „kawałkami”. Ponieważ kiedy podniosę to do kwadratu, pomnożę tę wielkość (te dwa wyrazy są sumowane) przez siebie, otrzymam, jak wspomniano, x ^ 2 z terminu x, stałą z członu k, ale również kx przechodząc przez k w pierwsza wielkość mnoży x w drugiej, a x i k w drugą stronę, ale dodam je, aby uzyskać 2kx. [aby to zobaczyć, napisz (x + k) (x + k), rozłóż, aby uzyskać (x + k) x + (x + k) k. Teraz rozprowadź to i „narysuj” ścieżki, aby uzyskać x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, co daje x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Cokolwiek to jest k będzie, musimy mieć 2kx = \ frac {b} {a} x, ale to oznacza k = \ frac {b} {2a}. Ok, TERAZ dokądś zmierzamy.Przypomnij sobie, że podnosimy do kwadratu, niektóre (x + k) ^ 2, a kiedy rozszerzam to get (x + k) (x + k), zamierzam podążać ścieżką mnożenia przez rozkład. Jedna taka ścieżka, którą muszę podążać, to k razy k, ale już wiemy, czym jest k, więc musimy mieć jakąś stałą k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Więc po prostu dodajmy to po obu stronach, co możemy zrobić, ponieważ jest to stałe i nie obchodzi nas, jaką stałą otrzymamy po drugiej stronie, po prostu chcemy odpowiednio uwzględnić ten bałagan.
Więc robimy to i otrzymujemy
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
A teraz mamy wszystkie warunki, które pozwalają nam rozłożyć to na a (x + k) ^ 2 = stały format, właśnie tego chcieliśmy! Okazało się, że k to \ frac {b} {2a}, więc po prostu uwzględniamy to.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Teraz chcemy uporządkować ten bałagan, zauważmy, że w końcu uzyskamy pierwiastek kwadratowy po odjęciu stałych i mamy w jednym członie mianownik 4a ^ 2, co jest bardzo łatwe do pierwiastka kwadratowego. Uczyńmy c / a zgodnym z tym, mnożąc go przez 1, co nic nie zmienia, ale 1 = 4a / 4a. Nie musimy się martwić o a = 0, ponieważ gdyby tak było, mielibyśmy równanie liniowe, które nie jest tym, na czym się skupiamy.
Więc otrzymujemy (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Świetnie, więc teraz odejmij drugi wyraz, ponieważ mają one wspólne mianowniki, a my get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
A prawa strona jest teraz stała , możemy łatwo pierwiastek kwadratowy z obu stron!
Otrzymujemy
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
To nie jest do końca poprawne, ponieważ musimy zdać sobie sprawę, że kiedy pierwiastek kwadratowy jest liczbą dodatnią, d ^ 2, d może być dodatnia lub ujemna. Więc dla dokładności dodajemy znak plus lub minus i otrzymujemy
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
I możemy teraz odjąć to k, ponieważ mamy teraz do rozwiązania równanie liniowe, tak jak chcieliśmy, i otrzymujemy
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}