Najlepsza odpowiedź
Transformacja macierzy jest na wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ma pozycję obrotu w każdym wierszu. Zmniejsz liczbę wierszy, a następnie sprawdź, czy liczba przestawnych jest równa liczbie wierszy.
Ok, nie ma sprawy, muszę teraz zrobić rant.
Za każdym razem, gdy ktoś stosuje przymiotnik „na” lub „liniowo niezależny” do macierzy, trochę się wzdrygam. To jest błąd kategorii. Zamiast tego powiedz: „Skąd wiesz, czy macierz transformacja jest włączona?”
Widzisz, terminologia jest bardzo ważna w matematyce . Piękno algebry liniowej polega na tym, że biorąc pod uwagę układ liniowy lub transformację liniową, można zapisać macierz , która jest po prostu prostokątem z liczbami powiązanymi z ten system liniowy lub transformacja liniowa. Następnie robienie różnych rzeczy z polem liczb daje z powrotem wszystkie rodzaje informacji o pierwotnym systemie lub transformacji. Algebra liniowa to przede wszystkim badanie tych zależności. Jednak większość studentów algebry liniowej, gdy niewłaściwie posługuje się terminologią, ujawnia, że nie do końca rozumie, w jaki sposób istnieją oddzielne pojęcia do odniesienia.
Przymiotnik „na” po prostu nie dotyczy macierzy. To tak, jakby zapytać: „Po czym poznać, że łóżko jest śpiące?” Fakt, że zadajesz to pytanie, oznacza, że nie rozumiesz, co oznacza senny lub co łóżko oznacza lub jedno i drugie.
Oto ściągawka z głównymi typami obiektów napotykanych w algebrze liniowej, wraz z kilkoma najpopularniejszymi terminami używanymi do ich opisu:
W przypadku macierzy A, B , poniższe wyrażenia nie są bełkotem:
– A jest w (wiersz rzędowy / zredukowany wiersz rzędowy)
-pivot (pozycje / wiersze / kolumny ) z A;
-A to (kwadrat / przekątna / odwracalny / górny trójkąt / dolny trójkąt)
– (Ranga / Determinant / Wartości własne / Wektory własne / Charakterystyczny wielomian) z A
– (pusta spacja / odstęp między kolumnami) z A;
– A to (odpowiednik wiersza / podobny) do B
– Przekształcenie macierzy \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Jeśli A x = b to układ równań liniowych , następujące wyrażenia nie są bełkotem:
– (Rozwiązanie / Zestaw rozwiązań / Rozwiązanie ogólne) systemu
– System ma (unikalne rozwiązanie / brak rozwiązań / nieskończenie wiele rozwiązań / n wolnych zmiennych)
-System jest (spójny / niespójny / niedokładny / nadmiernie określony)
– (Macierz współczynników / Rozszerzona macierz) systemu
Jeśli T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m jest transformacją liniową , następujące zwroty nie są bełkotem sh. Zwróć uwagę, że jeśli A jest macierzą, to można mówić o transformacji macierzy \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, co jest transformacją liniową.
– (Domena / Codomena / Zakres) z T
– T to (na / jeden do jednego / odwracalne)
-Standardowa macierz T; macierz T w odniesieniu do zasad \ beta\_1, \ beta\_2
– (Ranga / Determinant / Wartości własne / Wektory własne / Charakterystyka wielomian) z T
Jeśli S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} to zbiór wektorów w \ mathbb R ^ m , poniższe wyrażenia nie są bełkotem. Zwróć uwagę, że jeśli A jest macierzą m \ razy n, wówczas kolumny w A taki zbiór.
– S jest liniowe (niezależne / zależne)
-Span of S
-S (spans V / jest podstawą dla V ), gdzie V to podprzestrzeń \ mathbb R ^ m
Odpowiedź
Skończona wymiarowa macierz kwadratowa znajduje się na niej na wypadek, gdyby jej wyznacznik był niezerowy. Najskuteczniej możesz to sprawdzić za pomocą eliminacji Gaussa.
Mówiąc bardziej ogólnie, skończona prostokątna macierz jest włączona na wypadek, gdyby jej transpozycja była iniekcyjna, co ma miejsce tylko w przypadku, gdy pierwotne wiersze (lub kolumny) macierzy, w zależności od konwencji użytej dla danych wejściowych i jakie są dane wyjściowe) są liniowo niezależne, co oznacza, że macierz ma pełny rząd wierszy. Ponownie, eliminacja Gaussa jest twoim przyjacielem: umieść macierz w postaci rzutu rzędowego i sprawdź, czy w prawym dolnym rogu jest zero (równoważnie, czy są wiersze wszystkich zer) .Macierz jest ustawiona na wtedy i tylko wtedy, gdy dolny prawy wpis jest różny od zera.