Najlepsza odpowiedź
George Gamow wyjaśnia, w jaki sposób Galileo doszedł do tego wzoru w swojej książce „Grawitacja”.
Galileo badał spadające ciała. Chciał poznać matematyczny związek między czasem upadku przedmiotu a pokonaną odległością. Zrobił więc eksperyment.
Zbudował pochyloną płaszczyznę. Następnie pozwolił kulkom z różnych materiałów stoczyć się po samolocie (nie popychał ich). Zmierzył odległości pokonane przez piłkę pod koniec pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej sekundy. Mógłby bezpośrednio zaaranżować swobodny spadek piłki. Ale swobodny spadek jest dość szybki i nie miał wtedy dobrych zegarów. Wykonując eksperyment na pochyłej płaszczyźnie, zmniejszył siłę grawitacji działającą na kulkę i wydłużył czas dotarcia do dna zależnego od nachylenia płaszczyzny pochyłej. Poniższy rysunek wyjaśnia to:
Na podstawie rysunku możemy to pokazać,
[matematyka] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Zatem mniejszy x, mniejszy będzie ruch wywołujący siłę i więcej czasu zajmie piłce dotarcie do dna. Galileo stwierdził, że odległości pokonane przez kulkę pod koniec drugiej, trzeciej i czwartej sekundy są odpowiednio 4, 9 i 16 razy większe od odległości pokonanej na koniec pierwszej sekundy. To pokazuje, że prędkość piłki rośnie w taki sposób, że pokonywane przez nią odległości zwiększają się wraz z kwadratem czasu jej podróży. Teraz pytanie brzmiało, jak powiązać prędkość z czasem podanym powyżej zależnością odległość-czas. Galileo powiedział, że ten rodzaj zależności odległość-czas można uzyskać tylko wtedy, gdy prędkość piłki jest wprost proporcjonalna do czasu. Poniższy rysunek przedstawia wykres prędkości w funkcji czasu w powyższym eksperymencie i stwierdzenie Galileo:
Na powyższym rysunku punkt A odpowiada zerowemu położeniu kuli (na szczycie nachylonej płaszczyzny), a punkt B odpowiada kuli mającej prędkość v na końcu przedziału czasu t. Wiemy, że pole trójkąta ABC określa odległość pokonaną przez kulkę , s, w przedziale czasu (0, t). Stąd pokonana odległość wynosi,
s = \ frac {1} {2} vt.
Ale zgodnie z Galileo „s argument, v jest wprost proporcjonalne do t, tj. v = gdzie a jest przyspieszeniem.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} at ^ 2. [/ math]
Zatem pokonany dystans rośnie jako kwadrat czasu, który był naszą eksperymentalną obserwacją. Ten wzór podaje odległość pokonywaną, gdy piłce nie podano prędkości początkowej. Ale kiedy piłka ma pewną prędkość początkową, u, do powyższego wzoru dodaje się termin „ut”, który jest odległością pokonaną w czasie t przy prędkości u. Ten termin po prostu zwiększy odległości zmierzone w naszym eksperymencie, ale zachowa tę samą zależność odległość-czas. Stąd ostateczny wzór to:
s = ut + \ frac {1} {2} at ^ 2.
Odpowiedź
Kiedy próbujesz udowodnić coś związanego do dodatnich liczb całkowitych, twoją pierwszą myślą powinna być indukcja. Problem w tym, że nie ma od razu oczywistego sposobu postępowania. Chcemy móc dodać coś do obu stron nierówności, ale wtedy wiązanie po prawej stronie by się zwiększyło.
Sztuczka w tym problemie polega na tym, aby uczynić ograniczenie silniejszym niż jest obecnie. Więc udowodnimy powiązane stwierdzenie
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n \ geq 3. Oryginalna instrukcja następuje po pozwalając n zbliżyć się do nieskończoności.
Zauważ, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej k mamy
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Wiedząc to, możemy kontynuować przez indukcję.
Ponieważ \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, przypadek podstawowy n = 3 jest prawdziwy.
Teraz załóżmy, że stwierdzenie jest prawdziwe dla jakiegoś k, a mianowicie, że
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Chcemy pokazać, że instrukcja dotyczy również k + 1. Aby to zrobić, dodaj \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} po obu stronach:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Z nierówności, którą udowodniliśmy powyżej, upraszcza to do
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
dokładnie to chcieliśmy udowodnić.
Dlatego, zgodnie z zasadą indukcji matematycznej, zmodyfikowana instrukcja jest prawdziwa dla wszystkich liczb całkowitych n \ geq 3, więc oryginalna instrukcja również jest prawdziwa.
EDYCJA: Jak zauważył Predrag Tosic w komentarzach, kiedy pozwalamy n zbliżyć się do nieskończoności, znak usi zostać zmieniony na \ leq w przypadek, gdy dwie strony nierówności zbiegają się do tej samej wartości.Jednak można to naprawić, zamiast tego udowodnić nierówność
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
dla niewielkiej wartości \ epsilon ( powiedz, \ dfrac {1} {100}), co w miarę zbliżania się n do nieskończoności skutkowałoby
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
, z którego wynika żądana instrukcja.