Najlepsza odpowiedź
To nie jest rotacja dla 45 ^ o. To jest transformacja obracająca wektor w \ mathbb {R} ^ 2 pod kątem \ theta. Możesz wyprowadzić następujący wzór:
Niech wektor \ mathbf {V} zostanie obrócony o kąt \ theta pod trochę transformacji, aby uzyskać nowy wektor \ mathbf {V „}.
Niech r = | \ mathbf {V} |. Następnie mamy relacje:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x „= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Skąd masz relacje:
v\_x „= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y „= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Jest to przedstawione w postaci macierzy jako
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y „\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Odpowiedź
Istnieje kilka sposobów rozwiązania tego problemu.
Pierwszy to po prostu wywołanie rotacji Eulera twierdzenie , które stwierdza, że dowolna skończona liczba obrotów wokół pojedynczego stałego punktu (ale wokół dowolnych osi w nd imensions) można wyrazić jako pojedynczy obrót kąta \ theta wokół osi \ hat {n}.
Jeśli przyjmiemy, że każdy obrót jest reprezentowany przez macierz, a metoda obracania wektora jest mnożenie macierzy, stąd bezpośrednio wynika, że iloczyn macierzy rotacji A\_1 A\_2 … A\_n musi być także macierzą rotacji – w przeciwnym razie naruszyliśmy twierdzenie Eulera o rotacji.
Pytanie jest oczywiście jak faktycznie udowodnisz to twierdzenie.
Oryginalna praca Eulera jest… obrzydliwa. Obejmuje wiele, wiele trójkątów narysowanych na powierzchni kul (tj. Trójkątów nieeuklidesowych).
Jeśli masz ochotę naśladować Dowód do końca, strona wikipedii, do której linkował wcześniej, wydaje się całkiem przyzwoita.
Alternatywną metodą (lub równoważnie drugorzędną metodą udowodnienia twierdzenia Eulera, jak sądzę), jest bezpośrednie wykorzystaj własności macierzy rotacji, z niewielkim wypadem do teorii grup.
Rotacja, mówiąc matematycznie, to dowolna operacja, w której odległości między wszystkimi punktami w przestrzeni pozostają stałe i która pozostawia punkty, lub zbiór punktów, ustalony (zakładając, że jesteśmy w prostej przestrzeni euklidesowej), oprócz zachowania struktury orientacji obiektu.
W języku teorii grup nazywamy te operacje (w przestrzeni euklidesowej ) „Specjalna grupa ortogonalna w n wymiarach” lub w skrócie SO (n).
Macierze A, które są elementami składowymi SO (n), są zdefiniowane przez następujące dwie właściwości:
- A ^ TA = 1\_n (bit „ortogonalny”)
- \ text {det} (A) = 1 (bit „specjalny”)
Tj macierze rotacji to macierze ortogonalne z determinantą. Tutaj 1\_n jest macierzą tożsamości w n wymiarach.
Warunek „ortogonalności” jest warunkiem, który zapewnia zachowanie odległości, ponieważ w przestrzeni euklidesowej mamy długość dof a wektor \ mathbf {v} będący:
\ Displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Jeśli obrócimy ten wektor, tak że \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, z wektorem ortogonalnym, a następnie przez właściwości mnożenia macierzy:
\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Stąd na odległość d nie wpłynął obrót.
Wszystkie macierze ortogonalne mają wyznacznik \ pm 1, ale te z wyznacznikiem ujemnym zawierają również odbicie lustrzane wokół jakiejś osi. Biorąc pod uwagę, że chcemy czystych obrotów, a nie odbić, aby zachować orientację obiektów w naszej przestrzeni, dlatego ograniczamy się do tych z dodatnimi determinantami – stąd pochodzi „specjalny” bit.
Fakt, że wspomniałem, że te struktury tworzą grupę (z powiązaną operacją polegającą na mnożeniu macierzy) jest w rzeczywistości wystarczający, aby stwierdzić, że iloczyn kilku macierzy rotacji jest w rzeczywistości również rotacją, ponieważ grupy definiuje się jako c utracone w ramach operacji grupowej .
Oznacza to, że dowolne dwa elementy g\_1 i g\_2 w grupie G, z operacją grupową g\_1 \ bullet g\_2 musi zwrócić trzeci element, g\_3, który jest również członkiem grupy G. Dlatego jeśli A i B są macierzami rotacji, z definicji grupy wynika że A \ bullet B = AB to także macierz rotacji.
Oczywiście… to jest oszustwo. Aby stwierdzić, że SO (n) była grupą, muszę udowodnić, że to prawda! Można to również wyraźnie pokazać na podstawie następujących ogólnych właściwości transpozycji i wyznacznika:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Dlatego tworzymy macierz C = AB, gdzie A i Bare członkowie SO (n) .
Następnie rozważymy:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Ponieważ A ^ TA = 1\_n i B ^ TB = 1\_n oraz asocjatywność mnożenia macierzy.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ times 1 = 1
Widzimy zatem, że C jest macierzą ortogonalną, w której jeden determinantowy – tj. jest członkiem SO (n), a więc jest macierzą rotacji.
Udowodniliśmy zatem, że SO (n) (i rzeczywiście O (n)) tworzy grupę, która jest zamknięte przez mnożenie macierzy, a zatem, z definicji, konkatenacja wielokrotnych obrotów jest sama w sobie rotacją.
Dlatego udowodniliśmy twierdzenie Eulera o rotacji.