Najlepsza odpowiedź
Gavin Song udzielił Ci już świetnej odpowiedzi, ale zrobię co w mojej mocy, aby zapewnić Ci alternatywę sposób spojrzenia na ten problem za pomocą Calculus.
Fakt: Dowolna elipsa 2D może być sparametryzowana jako
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Gdzie 0 \ leq t \ leq 2 \ pi i aib są pół-moll i pół-dur osie (czyli odpowiednio promienie pionowe i poziome).
Rozważmy, że punkt ma zmianę na osi x, a inny na osi y, powiedzmy \ Delta y i \ Delta x. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że długość między początkową i końcową pozycją punktu jest wyrażona wzorem (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Proste, prawda?
Teraz zastosuj tę logikę do sparametryzowanej elipsy. Aby przybliżyć obwód elipsy, moglibyśmy „podążać” za punktem na elipsie wzdłuż kilku kroków wt, zmierzyć długość między jej położeniami w każdym przedziale i dodać je na końcu. Jeśli spróbujesz to zrobić samodzielnie, zauważysz, że pomiar staje się coraz dokładniejszy, jeśli weźmiemy pod uwagę coraz mniejsze interwały. Aby więc uzyskać prawdziwy obwód, moglibyśmy przeprowadzić ten proces dla nieskończenie małych przedziałów, co dałoby nieskończenie małe zmiany w xiy, powiedzmy dx i dy. Jest to równoważne obliczeniu następującej całki:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Niech obwód będzie wyrażony jako l. Jeśli użyjemy wcześniejszej parametryzacji, możemy to wyrazić jako
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Jest jednak pewien haczyk. Ta całka nie ma symbolicznego rozwiązania, chyba że a = b (co elegancko daje nam wzór na obwód koła), więc naszą jedyną opcją jest użycie metod numerycznych, aby uzyskać dobre przybliżenie. To może być dla Ciebie interesujące lub rozczarowujące, ale mam nadzieję, że pomogło.
🙂
Odpowiedź
Jeśli zniesiesz mnie, zrobię to rozważ to pytanie w odwrotnej kolejności.
Załóżmy, że okrąg i elipsa mają równe pola.
Moje pytanie brzmi: „Czy mają takie same obwody?”
(Zauważ, że gdy a = b = r wzór jest taki sam jak pole koła.)
Obwód okrąg to 2πr
Obwód elipsy jest bardzo trudny do obliczenia!
Ludzie próbowali znaleźć wzory do obliczenia obwodu elipsy, ale większość prób to tylko przybliżenia.
Niektóre metody obejmują nawet sumowanie nieskończonych serii!
Słynny indyjski matematyk Ramanujan opracował bardzo dobry wzór, który jest całkiem dokładne.
Zauważ, że jeśli a = b = r, to elipsa stanie się okręgiem, a powyższy wzór zmieni się w Wzór na obwód koła C = 2πr .
Jeśli podstawimy to do jego wzoru, otrzymamy:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Rozważmy konkretny przykład, w którym okrąg ma promień 6 cm, a elipsa ma główną oś 9 cm i mniejszą oś 4 cm.
Powierzchnia koła = π × 6 × 6 = 36π cm2
Powierzchnia elipsa = π × 9 × 4 = 36π cm kw.
————————————————— ——————————
Obwód koła = 2πr = 12π cm
Obwód elipsy według wzoru Ramanujana to:
———————————————————————————————— ————
Wniosek, jeśli okrąg i elipsa mają ten sam obszar, to elipsa ma większą obwód niż koło .