Najlepsza odpowiedź
2 + 2 =? wydaje się być jednym z najłatwiejszych problemów matematycznych i prawdopodobnie jednym z pierwszych, jakie napotkasz. Jeśli Kate ma 2 jabłka, a Matt daje jej 2 jabłka więcej, ma 4 jabłka. Oczywiście.
Ale co by było, gdybyśmy powiedzieli ci, że 2 + 2 =? zaskoczył nawet najbystrzejszych matematyków, ponieważ niekoniecznie musi równać się 4? Pewnie zastanawiasz się, jak to jest możliwe. Dowodem jest: zbiór logicznych kroków uzyskanych poprzez dedukcję (a zatem nie dokonanie żadnych gigantycznych skoków w logice, chyba że z definicji), a zatem empirycznie (na podstawie dostarczonych dowodów) skutkuje bezpośrednią równoważnością (będącą, między innymi typami równoważności, ale przede wszystkim, permutacją, multiplikatywną / addytywną i negatywną / pozytywną i parzystą / nieparzystą. .. meta-matematycznie) stanów, że „najkrótsza odległość to (w kategoriach bezwzględnych) nieskończoność, zero i / lub też jeden.
Naprawdę, próba„ dowodu ”2 + 2 = 5 opiera się na zniekształconym typie trygonometrii, która w istocie była źródłem dzisiejszego rachunku różniczkowego (po prostu spróbuj narysować styczną lub sieczną bez wpadania w ideę, odpowiednio, pochodna i całka rachunku różniczkowego), a tak naprawdę jest wynik dowolnej addytywnej równoważności dowolnych dwóch liczb „do bycia podobnym do dowolnej liczby” (b ponieważ pomiar przeciwprostokątnej danych boków jest zasadniczo multiplikatywny, a więc częściowo irracjonalny).
(Co sprawia, że zastanawiam się … czy istnieje odpowiednik 2 * 2 = 5? a odpowiedź brzmi: tak! Ale najpierw „dowód”, jak napisał Charles Seife.)
Niech a = b i a oraz b = 1. A teraz spójrz na to…
b ^ 2 = ab … (równ. 1)
Ponieważ a równa się sobie, oczywiste jest, że
a ^ 2 = a ^ 2 … (równanie 2)
Odejmij równanie 1 od równania 2. To daje
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (równanie 3)
Możemy wziąć pod uwagę obie strony równania; (a ^ 2) -ab równa się a (a-b). Podobnie, a ^ 2-b ^ 2 równa się (a + b) (a – b) (Nie dzieje się tu nic podejrzanego. To stwierdzenie jest całkowicie prawdziwe. Podłącz liczby i przekonaj się sam!) Podstawiając do równania 3, get
(a + b) (ab) = a (ab) … (eq.5)
Jak dotąd, dobrze. Teraz podziel obie strony równania przez (ab) i otrzymamy
a + b = a … (równ. 5)
b = 0 … (równ. 6)
Ale ustawiliśmy b na 1 na samym początku tego dowodu, więc oznacza to, że
1 = 0 … (równ. 7)
… W każdym razie, posunięcie się tak daleko daje nam sedno dowodu, później w dowodzie Charles Seife udowadnia, że Winston Churchill był marchewką! jeśli chcesz wiedzieć, jak to jest możliwe, polecam przeczytanie książki.
Z równania 7 dodaj liczbę po obu stronach i zrównaj ją z każdą inną liczbą, jedną większą od siebie.
Po pomnożeniu równania 7 po dodaniu do niego można otrzymać: dowolna liczba jest równa dowolnej innej liczbie.
Stąd koncepcyjnie każda liczba jest równa zero i teoretycznie to zawiera nieskończoność. Ale to jest również powód, dla którego dzielenie przez zero jest „Nieokreślone”. Co w konsekwencji dzieje się w tym równaniu… wystarczy podstawić 1 do równania 3, a zobaczymy, że dzielimy przez zero w równaniu 5.
To właśnie doprowadziło do wynalezienia rachunku różniczkowego. Naprawdę, stąd to prowadzi do przestrzeni Hilberta … ale miejmy nadzieję, że to najlepiej zostawić na inny wpis dotyczący faktycznego tematu kwantyzacji .
To wszystko, na co mam czas …
TEN DOWÓD JEST Z DEFINICJI NIEPRAWIDŁOWY, ale zapewnia dobre narzędzie wyjaśniające, dlaczego definiujemy rzeczy w matematyce w sposób, w jaki do.
Dobrym pytaniem, które można by tu zadać, byłoby (na podstawie mojej poprzedniej stycznej):
Czy 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? A może to równa się powtarzaniu się przez zero punktów dziewięć? Źródło: Zero: Biografia niebezpiecznego pomysłu Charlesa Seifea
Odpowiedź
Zacznę od założenia podstawy 10.
Peano przedstawił te aksjomaty jako próba sformalizować arytmetykę. Chociaż nie udowodniono, że są one spójne, jako takie, zakłada się, że są takie, rozsądnie. Chociaż normalnie nie uważam 0 za liczbę naturalną, proces ten jest nieco łatwiejszy, aby rozpocząć od zdefiniowania zera jako pierwszej liczby naturalnej, tj. 0 \ in \ mathbb {N}.
Następnie Peano definiuje następujące kwestie dotyczące równości z naturalnymi:
- Równość to symetryczne . (tj. \ alpha = \ beta \ implies \ beta = \ alpha)
- Równość jest refleksyjna . (tj. \ alpha = \ alpha dla wszystkich naturalnych \ alpha)
- Równość jest przechodnia . (tj. jeśli \ alpha = \ beta i \ beta = \ gamma, to \ alpha = \ gamma)
- Naturalne są zamknięte na zasadzie równości. (jeśli \ alpha jest liczbą naturalną, a \ alpha = \ beta, \ beta jest również liczbą naturalną)
Musimy teraz wprowadzić funkcję następcy, która jest injective , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ implies \ alpha = \ beta) \ text {denoted} S. Naturals są zamykane pod funkcją następcy.Funkcja następcy przyjmuje liczbę naturalną i wyprowadza jej następcę. To znaczy. S (0) = 1 i S (1) = 2.
Nie ma liczby, której następcą jest 0.
Korzystając z funkcji następcy, możemy określić pierwszą kilka naturalnych,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, gdzie \ mathbb {N} jest interpretowane jako zestaw. Wynika z tego, że S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Mając to na uwadze, możemy zdefiniować arytmetykę, używając funkcja następcy.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
Mamy do czynienia z tym nikczemnym problemem 2 + 2, który dręczy matematyków od wieków.
\ Displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ tekst {przez def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ tekst {przez def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {przez def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {przez def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {przez def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { z definicji}} 4.
\ zatem 2 + 2 = 4 \ blacksquare.