Najlepsza odpowiedź
Jeśli coś zbliża się coraz bardziej do 7, mówimy, że ma tendencję do 7. Liczby 8, 6.6, 7.1, 6.99, 7.002, 6.9994 i tak dalej (wyobraź sobie nieskończoną sekwencję kontynuowaną w ten sposób) mają tendencję do 7.
Jeśli coś staje się coraz większe bez ograniczeń, mówimy, że dąży do nieskończoności . Nie ma potrzeby wyobrażania sobie rzeczywistego obiektu zwanego „nieskończonością”. Wyrażenie to jest tylko skrótem oznaczającym „rośnie i rośnie bez ograniczeń”.
Jeśli coś staje się coraz mniejsze i mniejsze bez ograniczeń, mówimy, że ma tendencję do ujemnej nieskończoności – a przez „mniejsze” mam na myśli wartości takie jak -1 000 000 000, a nie wartości takie jak 0,001.
Dodatnia nieskończoność jest symbolem używanym do oznaczenia granicy sekwencji lub funkcji, która ostatecznie przekracza określone ograniczenie.
Ujemna nieskończoność robi to samo dla sekwencji, które ostatecznie spadają poniżej dowolnego określonego ograniczenia.
Sekwencja liczb 100, 110, 111, 111,1, 111,11 (i tak dalej) nie dąży do nieskończoności. Chociaż jest tutaj nieskończenie wiele liczb i chociaż stale rosną, nigdy nie przekraczają 200. Nigdy nawet nie przekraczają 112. W rzeczywistości ta sekwencja ma tendencję do 111 \ frac {1} {9}. To pokazuje, że nie każda sekwencja, która tylko narasta w nieskończoność, zmierza do nieskończoności, więc jaśniej widzimy różnicę między „dążeniem do nieskończoności” a jedynie „monotonicznym wzrostem”.
Liczby 1, 11, 111, 1111, … mają tendencję do nieskończoności. Niezależnie od wybranego progu liczby w tej sekwencji przekroczą ten próg i nigdy więcej nie spadną poniżej niego. Ta sekwencja ma tendencję do dodatniej nieskończoności .
Sekwencja 1, 2, 4, 8, 16, … potęg 2 również dąży do dodatniej nieskończoności. Podobnie jest z liczbami pierwszymi, liczbami złożonymi lub wieloma innymi sekwencjami.
Sekwencja 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6, … nie dąży do nieskończoności. Nawet jeśli jakiś próg zostanie ostatecznie przekroczony, nie zostanie on przekroczony na stałe. Sekwencja nalega na powrót do 0, więc do niczego nie dąży.
Sekwencja -10, -20, -30, -40, … ma tendencję do ujemnej nieskończoności. Każdy próg, o którym chcesz wspomnieć, zostanie ostatecznie przekroczony od dołu. Ta sekwencja ostatecznie spadnie poniżej -100, a później spadnie poniżej -1 000 000, aw pewnym momencie spadnie nawet poniżej ujemnego kompleksu googolpleksu, a kiedy to nastąpi, nigdy nie wzrośnie ponad to. To właśnie oznacza „dążenie do ujemnej nieskończoności”.
To samo wyrażenie jest używane do określenia ograniczeń funkcji. Ponieważ x dąży do 0, funkcja \ frac {1} {x ^ 2} dąży do dodatniej nieskończoności, podczas gdy funkcja – \ frac {1} {x ^ 2} dąży do ujemnej nieskończoności. Oznacza to po prostu, że dla wszystkich wystarczająco małych wartości x pierwsza funkcja może być dowolnie duża, a druga dowolnie mała.
Funkcja 1 / x nie dąży do niczego, ponieważ x dąży do 0. Jeśli ograniczamy x do wartości dodatniej i dążymy do 0, wtedy funkcja dąży do dodatniej nieskończoności. Pomyśl o odwrotności a równej 1, następnie 1/2, następnie 1/10 itd. Jeśli wymusimy na x, aby było ujemne i 0, funkcja ma również tendencję do ujemnej nieskończoności. Powinno to mieć sens, gdy spojrzysz na wykres.
Odpowiedź
„Negatywna nieskończoność” i „dodatnia nieskończoność” to terminy, których matematycy używają, mówiąc o granicach sekwencje .
sekwencja to po prostu lista liczb, takich jak \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {5}, ….
A limit to liczba, do której sekwencja jest coraz bliżej nie osiągając tego nigdy. Na przykład możesz zobaczyć, że powyższa sekwencja zbliża się coraz bardziej do zera, ale nigdy do niej nie dochodzi. (Najważniejsze jest to, że możesz uzyskać tak blisko, jak chcesz , do zera, jeśli będziesz jechać wystarczająco długo. To właśnie „zera” oznacza limit ).
Niektóre sekwencje, takie jak ta, którą napisałem powyżej, mają ograniczenia. Inne nie – na przykład raczej nudna sekwencja 1, -1, 1, -1, 1, -1 , … nie ma żadnej liczby, do której jest coraz bliżej. Tak naprawdę nigdzie nie idzie. Nie ma granic.
A co z sekwencją 1, 2, 3, 4, …? Na pewno gdzieś zmierza (nie kręci się po prostu w kółko, jak poprzednia sekwencja) – ale dokąd to zmierza?
Matematycy uważają, że warto mieć nazwę wskazującą, dokąd zmierza ta sekwencja. Mówią, że sekwencje takie jak ta mają do limitu i nazywają to ograniczenie „nieskończonością” (znaną również jako „dodatnia nieskończoność” – to samo).Jeśli granica sekwencji jest nieskończona, oznacza to po prostu, że wciąż rośnie i bez względu na to, jak dużą liczbę myślisz, jeśli będziesz ciągnąć wystarczająco długo, będzie ona większa. Niezależnie od używanego wykresu, zniknie on z wykresu.
Jeśli wyobrazisz sobie wszystkie liczby ułożone w linii z zerem pośrodku, w ten sposób:
… wtedy dodatnia nieskończoność oznacza” poza prawym końcem linii „. Tam właśnie zmierza moja trzecia sekwencja.
Spodziewam się, że zgadłeś, czym jest ujemna nieskończoność. Jest to granica ciągu takiego jak -1, -2, -3, -4,. … To po prostu oznacza „poza lewym końcem linii”.
Proste.