Najlepsza odpowiedź
Liczby wymierne są stosunkowo proste. Są to uporządkowana para liczb całkowitych (m, n) z n \ neq0 pod relacją równoważności:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Co? To miało być proste? No tak. Cała ta równoważność gobbledygook polegała na upewnieniu się, że połowa to połowa, niezależnie od tego, czy było to (1,2), (2,4), czy nawet (-33, -66). I wszystko byłoby bardziej znajome, gdybym napisał, że jako \ frac12 = \ frac24 zamiast (1,2) \ equiv (2,4), ponieważ 1 \ times4 = 2 \ times2. Ale, mówiąc ściśle, „od tego zaczyna się rygorystyczna definicja liczb wymiernych.
Teraz, kiedy już poradzimy sobie z prostymi sprawami, czym jest liczba rzeczywista? Pomimo ich nazwy i wszechobecności Liczby rzeczywiste są raczej skomplikowane bestie. Być może najprostszą konstrukcją, która odpowiada naszej intuicji, jest cięć Dedekinda . Fragment Dedekind liczb wymiernych, \ Q, to podział na dwie zbiory niepuste (A, B) takie, że A \ cup B = \ Q, każdy element A jest ściśle mniejszy niż każdy element B, a A nie ma elementu największego. Wiem, że twoja głowa już się kręci, ale idea jest bardzo prosta: po prostu przecinamy oś liczbową w pewnym momencie – wszystkie racjonalne po lewej są w A, a wszystkie racjonalne po prawej (lub w punkt) znajdują się w B. Jeśli B ma najmniej elementu, nasze wycięcie było na liczbie wymiernej. Jeśli B nie ma najmniejszego elementu, nasze cięcie było na Liczba irracjonalna. Poniższe reprezentują to cięcie Dedekinda dla pierwiastka kwadratowego z dwóch (liczba irracjonalna):
(Źródło: Plik: Dedekind cut- pierwiastek kwadratowy z two.png – Wikipedia )
Tak czy inaczej, wycięcie (A, B) reprezentuje liczbę rzeczywistą. Ponieważ B = \ Q \ setminus A, możemy reprezentować liczbę rzeczywistą przez samo A: niepusty zbiór liczb wymiernych, który jest zamknięty poniżej i nie ma największego elementu. W pewnym sensie irracjonalne liczby rzeczywiste wypełniają „luki” w liczbach wymiernych.
Jednym z problemów z intuicją „luk” jest to, że liczby wymierne są gęste w liczbach rzeczywistych – między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje racjonalny (w rzeczywistości nieskończenie wiele racjonalnych). To może sprawić, że myślisz, że jest co najmniej tyle liczb wymiernych, ile jest liczb niewymiernych. Ale nie, liczność zbioru liczb niewymiernych jest ściśle większa niż zbioru liczb wymiernych. W jakiś sposób liczba rzeczywista „na końcu” zbioru A liczb wymiernych jest połączona z wieloma innymi liczbami rzeczywistymi, których nie potrafię opisać w odniesieniu do zbioru A. Jak powiedziałem, liczby rzeczywiste to skomplikowane bestie: większość z nich „nie można nawet opisać pomimo ich rzekomej„ rzeczywistości ”.
sugeruję fundamentalną różnicę między liczbami wymiernymi a rzeczywistymi liczb, które naprawdę wymagają dyplomu z matematyki, aby je właściwie zrozumieć, ale mam nadzieję, że masz przynajmniej przedsmak różnicy, jeśli nie pełne zrozumienie subtelności.
Odpowiedź
Liczby rzeczywiste to liczby między liczbami wymiernymi . Co naprawdę oznacza to stwierdzenie?
Rozważmy pierwiastek kwadratowy z 2. Można wykazać, że nie jest to racjonalne. Ale możemy dowiedzieć się, jaka jest jego wartość, z dowolnym stopniem dokładności, poprzez zidentyfikowanie wszystkich racjonalności, które są od niej niższe, i wszystkich racjonalności wyższych od niej. Znajduje się między dwoma zbiorami liczb wymiernych.
Dotyczy to każdej liczby rzeczywistej – chyba że jest również racjonalna. Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje zbiór liczb wymiernych, które są mniejsze lub równe jej, oraz inny zbiór wymiernych, które są większe lub równe jej, a każda wymierna znajduje się w jednym lub drugim z tych dwóch zbiorów . Ten rodzaj podziału wymiernych jest kluczem do konstruowania liczb rzeczywistych z wymiernych za pomocą cięć Dedekinda.
Rozważmy dwa zbiory liczb wymiernych, L (niższe) i H (wyższe), takie że każda liczba w H jest wyższa niż każda liczba w L, a oba zbiory razem obejmują każdą liczbę wymierną. Wiemy, że takie zbiory L i H istnieją dla każdej liczby rzeczywistej, którą możemy obliczyć algebraicznie, ale nie są to jedyne takie zbiory.
Ogólnie L może mieć najwyższą liczbę, Lmax, lub H może mieć najniższą liczbę Hmin. W takich przypadkach Lmax lub Hmin byłoby górną granicą L i dolną granicą H i byłoby to racjonalne. Jeśli ani Lmax, ani Hmin nie istnieją – a wiemy, że nie istnieją, gdybyśmy utworzyli zbiory ze znanej liczby niewymiernej – definiujemy górną granicę L (która jest również dolną granicą H) jako liczbę rzeczywistą.
W rzeczywistości za każdym razem, gdy przybliżamy liczbę niewymierną za pomocą ułamka dziesiętnego, tworzymy taki podział. Na przykład, jeśli powiemy, że liczba niewymierna to 1,2345…, to mówimy, że jest większa niż 1,2345, ale mniejsza niż 1.2346, a kiedy piszemy więcej liczb w rozwinięciu dziesiętnym, dodajemy więcej liczb do zbiorów, które są większe i mniejsze niż.
Korzystając z tych dziesiętnych rozwinięć, możemy wyprowadzić ważną różnicę między liczbami wymiernymi a liczby rzeczywiste. Liczby wymierne są policzalne ; to znaczy, można je umieścić w korespondencji jeden do jednego z liczbami całkowitymi. Liczby rzeczywiste nie są policzalne.
Jaka jest różnica między liczbami rzeczywistymi a wymiernymi?