Najlepsza odpowiedź
Intuicyjnie mianownik 3 oznacza, że liczba jest „dzielona” na trzy równe części. 27 podzielone przez 3 to 9. Oznacza to, że każda z 3 grup równa się 9.
2/3 oznacza, że z 3 grup po 9 tylko 2 z 3 grup są przedmiotem zainteresowania. Zatem 2/3 to 9 + 9 = 18.
2/3 z 27 to 18.
Odpowiedź
John K Williamsson dał dobrą odpowiedź: na to, co nazwał „brudną sumą” \ frac {1} {2} i \ frac {8} {9} (matematyczny termin to mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Sugeruje, aby użyj algebry, aby udowodnić średnią nierówność : jeśli a, b, c, d są liczbami dodatnimi i
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
następnie
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Pragnę dodać, że na poziomie szkoły podstawowej nierówność mediana nie potrzebuje dowodu algebraicznego, jest wystarczająco oczywista.
Rzeczywiście rozważ ułamki \ frac {1} {2} i \ frac {8} {9} jako opisy sytuacji z życia wziętych:
\ frac {1} {2}: dwoje dzieci ma 1 worek owoców .
\ frac {8} {9}: 9 dzieci ma 8 worków owoców.
Spotykają się i dzielą po równo: 1 + 8 worków owoców między 2 + 9 = 11 dzieci, czyli tworzą mediant:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
Która grupa dzieci przegrywa, a która zyskuje? Oczywiście dwoje dzieci zyskuje 1 sztukę: mają \ frac {1} {2} torby na sztukę, druga grupa ma większy udział na sztukę: \ frac {8} {9}. Z tego samego powodu dzieci z drugiej grupy przegrywają.
Na moich wykładach posługuję się przykładem z dziećmi i torbami słodyczy; tutaj słodycze zastąpiłam bardziej politycznie poprawnymi owocami – może muszę pójść dalej i zamiast owoców użyć zielonych warzyw. Pierwotny pomysł należał do wielkiego Israel Gelfand i został przedstawiony w bardziej kolorowym języku:
Możesz wyjaśnić matematykę każdemu, nawet pijakom. Jeśli zapytasz ludzi pijących wódkę na ławce w parku, co jest większe, \ frac {2} {3} lub \ frac {3 } {4} , odpowiedzą przekleństwami. Ale jeśli ich zapytasz, co jest lepsze, 2 butelki wódki na 3 osoby lub 3 butelki wódki na 4 osoby, natychmiast udzielą właściwej odpowiedzi: z oczywiście 3 butelki dla 4 osób.
I ten natychmiastowy wniosek wypływa z argumentu, który jest odwróceniem nieformalnego dowodu medialnej nierówności: jak przejść z sytuacji „2 butelki na 3 osoby” do sytuacji „3 butelki na 4 osoby”? Oczywiście oznacza to, że przychodzi czwarty mężczyzna i przynosi ze sobą całą butelkę – wyobrażasz sobie całą butelkę wódki! W średniej nierówności
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
lub
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Widziałem kilka artykułów potwierdzających, że jest to typowy wzór arytmetycznej myślenie, tak jak robią to „normalni” ludzie w prawdziwych sytuacjach życiowych (na przykład widziałem twierdzenie, że jest ono używane przez pielęgniarki szpitalne do porównywania dawek leków, które są większe, a które mniejsze).