Najlepsza odpowiedź
Po pierwsze \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Teraz przedstawię pierwiastek kwadratowy za pomocą jej szeregu Taylora. Obliczyłem tę serię Taylora na około 16, żeby zabezpieczyć się przed irytującymi promieniami zbieżności. Następnie przybliżę \ sqrt {20} ustawiając x = 20 w szeregu.
Definicja szeregu Taylora dowolnej funkcji anylitycznej f \ left (x \ right) jest następująca:
f \ lewo (x \ prawo) = \ Displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ lewo (n \ prawo)} \ lewo (a \ prawo) \ Frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Tutaj f ^ {\ left (n \ right)} oznacza n-tą pochodną f. Będziemy musieli obliczyć wiele pochodnych i miejmy nadzieję, że powstanie dość łatwo zauważalny wzór.
f \ left (x \ right) będzie odtąd oznaczać \ sqrt {x}.
„Zerowa” pochodna f to po prostu f. Będę miał f \ left (16 \ right) jako współczynnik pierwszego członu serii. (Pamiętaj, że zdecydowałem się wyśrodkować serię Taylora wokół 16 . Pierwiastek kwadratowy z 16 jest dość łatwe – wystarczy 4 . Cztery czwórki to 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
OK. Sprawy będą się stawać coraz trudniejsze. Musimy teraz obliczyć pochodną \ sqrt {x}.
Reguła potęgi mówi, że \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. W tym przypadku n = \ frac {1} {2} (zakładając, że \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Dlatego \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Następnym współczynnikiem szeregu jest zatem \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} lub po prostu \ frac {1} {8}.
Następnym wyrazem w szeregu Taylora będzie zatem f „\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} lub po prostu \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Oto dotychczasowa suma częściowa:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
OK. Teraz, musimy obliczyć pochodną sekundy f \ left (x \ right) lub po prostu obliczyć pochodną \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Będzie to wymagało użycia reguły łańcucha, ponieważ mamy jedną funkcję złożoną w innej. Jedna funkcja będzie odtąd oznaczana przez g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, a drugi będzie odtąd oznaczany przez h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Funkcja, której chcemy znaleźć pochodną, to: f „\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Innymi słowy, chcemy znaleźć pochodną g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Reguła łańcuchowa mówi, że \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g „\ left (h \ left (x \ right) \ right) h” \ left (x \ right).
Pochodna g \ left (x \ right) to – \ frac {1} {x ^ 2} (według reguły potęgi). Pochodna h \ left (x \ right) to \ frac {1} {\ sqrt {x}} (zgodnie z regułą potęgi i właściwością, która implikuje \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf „\ left (x \ right)).
Teraz mamy to \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Dlatego trzeci współczynnik w serii to – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (lub prościej – \ frac {1} {256}).
Trzeci człon w serii to: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Cała dotychczasowa suma częściowa:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Przejdę teraz do obliczenia czwartej pochodnej f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Czwartym wyrazem w sekwencji będzie \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Suma ma teraz cztery wyrazy:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} + \ cdots
Jeśli będziemy kontynuować ten wzorzec, otrzymamy następujący wzór współczynników:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Teraz jest czas, aby znaleźć wzór i wyrazić sekwencję z jawną formułą.
N-ty mianownik może być reprezentowany przez b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right), co upraszcza do b\_n = 2 ^ {5n-2} (z początkową wartością n równą 0). To było łatwe. A co z licznikami?
Oto seria liczników (ignorując zmianę znaku, którą zajmiemy się później):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Układ liczników jest dość prosty. Weź 945 i podziel przez 105. Otrzymujesz 9. Następnie weź 105 i podziel to przez 15. Otrzymujesz 7. Kontynuacja: 15 podzielone przez 3 daje 5, 3 podzielone przez 1 daje 3, a 1 podzielone przez 1 to 1. W grę wchodzą produkty o liczbach nieparzystych.
\ left (n + 2 \ right) th termin w sekwencji liczników (z wyłączeniem alternacji) to zatem:
t\_n = \ Displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Wzór na liczniki ma postać notacji pi. Byłoby lepiej, gdyby było to w jakiś sposób wyrażone za pomocą notacji silni.
Jeśli podzielimy iloczyn pierwszych 2n + 2 liczb całkowitych przez iloczyn parzystych liczb całkowitych od 2 do 2n, otrzymamy iloczyn nieparzystych liczb całkowitych od 1 do 2n + 1. Innymi słowy,
t\_n = \ Displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ lewo (2k + 1 \ prawo) = \ Frac {\ lewo (2n + 2 \ prawo)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Teraz możemy usunąć notację pi i zastąpić ją mniejszym, bardziej eleganckim wyrażeniem. Jak widać, 2 w wyrażeniu jest mnożone przez siebie n + 1 razy. Więc możemy wyciągnąć 2, umieścić je przed wielką literą pi, a następnie podnieść 2 do potęgi n + 1. To daje nam:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Powyższe równanie można zapisać prościej jako:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Być może zauważyłeś już, że szereg podany przez wyrażenie bezpośrednio powyżej jest rozdzielony o dwa człon. Aby rozwiązać ten problem, wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć wszystkie n we wzorze na mianownik i dodać je przez 2. Będziemy musieli zrobić to samo z pozostałymi wyrażeniami z potęgami x.
Formuła mianownika to ostatecznie 2 ^ {5n + 8}.
Ponieważ przesunęliśmy szereg, nadal musimy uwzględnić te, które zostały wykluczone, gdzieś w wyrażeniu. Będą inne terminy, które pojawią się przed zapisem sigma w wyrażeniu. Te wyrazy to 4 i \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Współczynnik każdego wyrazu w serii wyniesie:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
co upraszcza do:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
To wzór na n-ty współczynnik dla szeregu (wyklucza to pierwsze dwa wyrazy, ponieważ te wyrazy spowodowałyby błędy we wzorze na t\_n).
Możemy teraz zacząć pisać notacja sigma (pamiętaj, przesunęliśmy serię, aby usunąć bezczelne terminy, więc na początku notacji sigma będzie kilka rzeczy).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Jest to naprzemienna seria rozpoczynająca się od ujemnego, więc będziemy musieli pomnożyć wyrazy przez (n + 1) potęgę -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ dobrze) + \ Displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Oczyszczono:
f \ left (x \ prawej) = \ sqrt {x} = 2 + \ Frac {x} {8} + \ Displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Frac {\ lewo (x-16 \ prawo) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
Mamy teraz szereg Taylora dla tak zwanej funkcji „pierwiastka kwadratowego”, która zdecydowanie nie występuje w kalkulatorach. Teraz wszystko, co pozostaje do zrobienia, to przybliżyć pierwiastek kwadratowy z dwudziestu za pomocą szeregu Taylor, który właśnie obliczyliśmy.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ Displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Frac {\ lewo (20-16 \ prawo) ^ {n + 1} \ lewo (-1 \ prawo) ^ n \ lewo (2n \ prawo) )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Uproszczony:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ Displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Frac {\ lewo (-1 \ prawo) ^ n \ lewo (2n \ prawo)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Wpisałem powyższe wyrażenie do Desmos i zamieniłem \ infty na 15. Desmos obliczył sumę. Tak więc pierwiastek kwadratowy z dwudziestu to około 4,472135955.
Poszedłem dogłębnie z tą odpowiedzią, ponieważ w innym przypadku byłaby wystarczająco nudna.
Każdy, kto może korzystać z Internetu, ma dostęp nawet najbardziej naukowe z kalkulatorów. Funkcja pierwiastka kwadratowego jest zawsze dostępna 24/7/365. Dzięki temu sprawdzę swoją odpowiedź.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ około \ sqrt {20}
Dziękujemy za przeczytanie.
Odpowiedź
Cóż, spróbujmy bez kalkulatora .
Znajdź liczbę, której kwadrat jest mniejszy niż 20, to jest 4.
Znajdź liczbę, której kwadrat jest nieco większy niż 20 , to jest 5.
Zatem 4 qrt (20)
Po zidentyfikowaniu oblicz średnią tych dwóch liczb, która wynosi 4,5
AM ≥ GM i GM = √4 * 5 = √20.
Stąd mamy √20 ,5
Czyli 4 qrt (20) ,5
Oblicz 4,5 kwadratu… 4 * 5 + .25 = 20,25…
Jest trochę za dużo…
Zatem odpowiedź powinna wynosić około 4,5, ale nie blisko 4 .
Teraz spróbujmy znaleźć to „bardziej poprawnie”
Weź f (x) = sqrt (x)
f „(x) = o.5 / sqrt (x)
Teraz, f (20,25) = 4,5, f (20) =?
Weź Δx = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f „(x)
(Seria Taylora obcięta do pierwszego rzędu lub możesz zadzwonić do Newtona Metoda Raphsona)
Teraz, podstawiając x i ∆x, mamy,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – 0,111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Stąd sqrt (20) ~ 4.472225
A oto, co Google zaoferowało jako odpowiedź.
Nasza odpowiedź nie jest więc taka zła !!