Najlepsza odpowiedź
To dobry moment, aby pokazać, jak działa matematyka, przyjmując intuicyjne, ale niejasne pojęcie i zmieniając je precyzyjne dzięki sprytnym definicjom.
Co powinniśmy rozumieć przez przeciwieństwo? Cóż, rozsądną rzeczą jest to, że kiedy wykonujemy jakąś operację \ vee (nazwij ją, jak chcesz, banan to na przykład dobra nazwa) na x i jego przeciwieństwo x ^ *, wynikiem powinien być jakiś element neutralny dla bananów n. Oznacza to, że x i „anti-x” powinny się wzajemnie znosić, tak aby x \ vee x ^ * = n. Zauważ, że w tej chwili nie wiemy zbyt wiele o bananie poza tymi formalnymi właściwościami. Pojęcie neutralności n powinno w tym sensie oznaczać, że dla każdego y powinniśmy mieć y \ vee n = y, czyli n nie wpływa na y, gdy banan jest stosowany do obu z nich.
Ta koncepcja przeciwności jest fundamentalna w matematyce, a bardziej powszechną nazwą dla x ^ * jest odwrotność x w odniesieniu do operacji \ vee.
Kiedy \ vee jest zwykłe dodawanie + liczb, x ^ * jest oznaczane -x, ponieważ x + (- x) = 0 jest elementem neutralnym. Rzeczywiście, dla dowolnego y, y + 0 = y. Zatem w tym przypadku przeciwieństwem 0 jest -0, czyli samo 0!
Kiedy \ vee jest mnożeniem, neutralnym elementem jest 1 (dlaczego?). Wtedy 0 nie ma odwrotności, ponieważ żadna liczba pomnożona przez zero nie jest jeden. Są konteksty, w których matematycy wymyślają multiplikatywę przeciwną do 0 i zwykle nazywają ją \ infty, co ma pewien sens.
Odpowiedź
To było wcześniej przedmiotem pewnej debaty w matematycznej społeczności, dopóki Donald Knuth nie uporządkował sprawy w 1992 roku, więc jest zrozumiałe, że pewne zamieszanie utrzymuje się, ale współczesna konwencja polega na zdefiniowaniu 0 ^ 0 = 1, nie bez powodu.
Co oznacza 0 ^ 0 oznaczać? Być może zostałeś nauczony, że potęga zerowa jest obliczana przez podzielenie potęgi n-tej przez potęgę n-tą (n> 0); to nie pomaga w przypadku 0 ^ 0 i prowadzi niektórych do skojarzenia 0 ^ 0 z niezdefiniowanym ilorazem \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Ci ludzie nie zdali sobie sprawy, że 0 ^ 2 jest doskonale zdefiniowane i nie może być powiązane z niezdefiniowanym ilorazem \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – nie możemy udowodnić cokolwiek, wprowadzając dzielenie przez zero tam, gdzie wcześniej nie było.
Ale nie musimy w ogóle odwoływać się do dzielenia:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Jeśli zabiorę wszystkie twoje jabłka n razy (n> 0) , nie masz już jabłek; ale jeśli zabiorę wszystkie twoje jabłka 0 razy, nadal masz wszystkie swoje jabłka. Bardziej zwięźle, 0 ^ 0 = 1 to przypadek pusty produkt , tak jak 0! = 1.
Dlaczego więc zajęło to tak dużo czasu, zanim zostało to zaakceptowane? Widocznym problemem jest to, że forma ograniczająca 0 ^ 0 jest formą nieokreśloną, w tym sensie, że \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0 nie daje żadnych informacji * o limicie \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}: może to być dowolna nieujemna liczba rzeczywista, \ infty lub może nie istnieć, w zależności od określonych funkcji. Wydawało się to sprzeczne z prostą intuicją powyżej przez ponad wiek. Ale ważne jest to, że nieokreślona forma ograniczająca 0 ^ 0 nie uniemożliwia nam przypisania definicji do wartości 0 ^ 0 . Nie są tym samym obiektem: forma ograniczająca 0 ^ 0 jest tylko skrótem dla wspomnianego powyżej ograniczenia, a jego nieokreśloność oznacza jedynie, że potęgowanie nie może być funkcją ciągłą w dowolnym sąsiedztwie (0, 0).
Nie powinno to być zbyt zaskakujące: na przykład \ lfloor 0 \ rfloor jest również nieokreśloną formą (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor nie istnieje, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), ale nadal piszemy \ lfloor 0 \ rfloor = 0 jako wartość.
A więc przypisujemy teraz 0 ^ 0 użyteczną wartość, czyli 1. Dlaczego to jest przydatne? Ponieważ pozwala nam manipulować wykładniczymi bez dodawania specjalnych przypadków .
- Jeśli \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n jest wielomianem , wtedy p (0) = a\_0 jest jego składnikiem stałym – ale nie możemy nawet zapisać wielomianu w ten oczywisty sposób, chyba że 0 ^ 0 = 1. To samo dotyczy nieskończonych szeregów potęg, gdzie d jest zastąpione przez \ infty.
- Obliczenie nieskończonego ciągu geometrycznego : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} więc \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. jest całkowicie poprawna (a nawet ciągła) dla | x | , w tym przy x = 0, ale wymaga 0 ^ 0 = 1.
- twierdzenie dwumianowe (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k zachowuje nawet, gdy a = 0 lub b = 0, ale wymaga 0 ^ 0 = 1.
- reguła potęgi \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) zachowuje nawet przez n = 1 o x = 0, ale wymaga 0 ^ 0 = 1.
- Odpowiedź Jacka Huizengi podaje inny przykład: liczba funkcji f \ colon S \ to T to \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, ale tylko jeśli 0 ^ 0 = 1.
- W liczebnik kościelny kodowanie liczb naturalnych, potęgowanie to po prostu zastosowanie funkcji, a 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Znaczenie, w którym 0 ^ 0 jest formą nieokreśloną, jest słabsze niż w przypadku innych form nieokreślonych. Dla złożonych funkcji analitycznych f, g z \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, zawsze mamy \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, chyba że f jest identyczne zerem (w takim przypadku limit nie istnieje).
Donald Knuth daje w zasadzie tę samą odpowiedź w „ Two notes on Notation ” (1992, s. 6), wraz z tłem historycznym:
Jednakże artykuł [33] [Libri] spowodował kilka zmarszczek w wodach matematycznych, kiedy się pojawił, ponieważ wywołał kontrowersje dotyczące tego, czy zdefiniowano 0 ^ 0. Większość matematyków zgodziła się, że 0 ^ 0 = 1, ale Cauchy [5, strona 70] umieścił 0 ^ 0 razem z innymi wyrażeniami, takimi jak 0/0 i \ infty – \ infty w tabeli form niezdefiniowanych. Uzasadnienie Libri dla równania 0 ^ 0 = 1 było dalekie od przekonania, a komentator, który podpisał się po prostu „S”, przystąpił do ataku [45]. August Möbius [36] bronił Libri, przedstawiając powód, dla którego jego były profesor wierzył, że 0 ^ 0 = 1 (w zasadzie dowód, że \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius poszedł również dalej i przedstawił przypuszczalny dowód, że \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1, ilekroć \ textstyle \ lim\_ {x \ do 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Oczywiście „S” następnie zapytał [3], czy Möbius wiedział o funkcjach takich jak f (x) = e ^ {- 1 / x} i g (x) = x. (A artykuł [36] został po cichu pominięty w zapisie historycznym, kiedy ostatecznie opublikowano zebrane dzieła Möbiusa.) Debata na tym się skończyła, najwyraźniej wyciągając wniosek, że 0 ^ 0 powinno być nieokreślone.
Ale nie nie, dziesięć tysięcy razy nie! Każdy, kto chce, aby twierdzenie dwumianowe \ Displaystyle (x + r) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} trzymać co najmniej jedną nieujemną liczbę całkowitą n musi wierzyć, że 0 ^ 0 = 1, ponieważ możemy podłączyć x = 0 i y = 1, aby uzyskać 1 po lewej i 0 ^ 0 po prawej.
Liczba mapowań z pustego zestawu do pustego zestawu wynosi 0 ^ 0. To musi być 1.
Z drugiej strony Cauchy miał dobry powód, by uważać 0 ^ 0 za niezdefiniowane forma ograniczająca w tym sensie, że wartość graniczna f (x) ^ {g (x)} nie jest znana a priori , gdy f (x) ig (x) zbliżają się do 0 niezależnie. W tym znacznie silniejszym sensie wartość 0 ^ 0 jest mniej zdefiniowana niż, powiedzmy, wartość 0 + 0. Zarówno Cauchy, jak i Libri mieli rację, ale Libri i jego obrońcy nie rozumieli, dlaczego prawda była po ich stronie.