Jeśli pomnożymy macierz 1×2 przez macierz 2×1, jakie są wymiary otrzymanej macierzy?


Najlepsza odpowiedź

1×1

Wyjaśnienie: Załóżmy , 1. macierz ma rozmiar a * b, a 2. macierz ma rozmiar c * d (a & c odpowiadają wierszowi, a b & d odpowiadają kolumnie).

Mnożenie macierzy między dwiema macierzami będzie możliwe tylko wtedy, gdy b = c i wynikowa macierz będzie miała rozmiar a * d.

Tutaj a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. jako b = c możemy wtedy pomnożyć, a wynikowa macierz będzie miała rozmiar a * d (1 * 1)

Odpowiedź

Arbitralna macierz dwa na dwa to

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Może mieć multiplikatywną odwrotność A ^ {- 1} z własnością AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, macierz jednostkowa, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Znajdźmy odwrotność, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Mamy dwa oddzielne układy dwa przez dwa liniowe,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Zróbmy pierwszą, rozwiązując dla x i z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Z innego systemu otrzymujemy

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

i podobnie

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Łącząc to wszystko eee widzimy

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

Ilość | A | = \ det (A) = ad-bc nazywamy wyznacznikiem . Jest niezerowa dokładnie wtedy, gdy macierz ma odwrotność. Wyznacznik jest multiplikatywny – wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych jest iloczynem ich wyznaczników.

Macierz \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} nazywa się korelacja oznaczona jako \ textrm {adj} (A).

Sprawdźmy, czy A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Ja, macierz, która jest zerowa z wyjątkiem wyznacznika na przekątnych.

A \ textrm {przym} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark

Odpowiedź na pytanie brzmi: jeśli mianownik nie jest zerem,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

to macierz, którą mnożymy przez

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

aby uzyskać tożsamość.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *