Melhor resposta
Apresentarei isso como se todos concordassem, o que não é realmente verdade.
Todo número, real ou complexo, tem duas raízes quadradas que são negações uma da outra. A exceção é zero, que é sua própria negação.
O domínio da raiz quadrada pode ser os números reais ou os números complexos, e as convenções são ligeiramente diferentes. Vamos nos concentrar na raiz quadrada dos números reais primeiro.
O sinal radical \ sqrt {x} quando aplicado a um número real denota o principal ou raiz quadrada positiva. Se x \ ge 0, então \ sqrt {x} \ ge 0. Portanto, para responder à pergunta com qualificações, a raiz quadrada principal de um número positivo é sempre positiva, por definição.
A raiz quadrada principal de um real negativo é um tempo real positivo i. Mesmo que os números complexos não sejam ordenados, há uma ordem importante no eixo imaginário análoga àquela no eixo real.
Quando falamos sobre “a raiz quadrada”, normalmente estamos nos referindo ao raiz quadrada principal. Quando falamos sobre “uma raiz quadrada”, queremos dizer qualquer um. Nesta questão, o OP não fornece um artigo, então não há ajuda aqui.
Quando estamos lidando com raízes quadradas de números reais, é muito importante que entendamos
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Quando o domínio é real, \ sqrt {x} é uma função de números reais para complexos. Ele assume um único valor único para cada x real. É sempre 0, um número real positivo ou um número real positivo vezes i. É uma das duas raízes quadradas que foi definida para ser a raiz quadrada principal.
A menos que os valores principais sejam explicitamente solicitados, a raiz quadrada de um número complexo \ sqrt {z} deve ser tratada como um expressão multivalorada. Portanto, aqui eu diria \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
Quando queremos explicitamente a expressão de vários valores, a expressão a se refere a ambas as raízes quadradas, seja w tal que w ^ 2 = z. Eu prefiro \ pm \ sqrt {z}. Mas \ pm pode ficar confuso e ambíguo, então pode acontecer de qualquer maneira.
Mais controversamente, eu trato o número natural recíproco como um expoente, z ^ {\ frac 1 2}, como a expressão multivalorada se referindo a todas as raízes, não a uma função.
Exatamente o que significa exatamente igualdade de expressões com vários valores é geralmente ignorado, especialmente o problema incômodo de que 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Talvez.
Resposta
Hmm, este é complicado … Então, aqui vai:
A raiz quadrada é uma função matemática, e, é o nome real é função de raiz quadrada positiva, o que evidentemente fornece todos os valores + ve. A razão para essa distinção é que em uma função matemática f (x, y) para cada valor de x, deve haver um valor único de y. Portanto, a raiz quadrada de 4 não pode ser +2, -2, por definição! Portanto, como norma, consideramos apenas a função de raiz quadrada positiva.
Isso cria muita confusão porque o quadrado de +2 e -2 é 4, mas a raiz quadrada de 4 só pode ter o valor de +2, mas acho que esse é o conjunto de regras que obedecemos. Sinta-se à vontade para pensar em um sistema diferente, onde a função de raiz quadrada fornece os valores + ve e -ve, embora eu imagine que isso levaria a uma desordem massiva em algum lugar no futuro. Ainda assim, a beleza de matemática está em experimentação!