Melhor resposta
Duas quantidades estão na proporção de ouro se sua proporção é a mesma que a proporção de sua soma para a maior das duas quantidades.
Agora, se deixarmos a e b (b> a) serem duas quantidades na proporção áurea, então,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
A Fórmula Quadrática revela que,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(A outra solução dá \ frac {a} {b} ou \ varphi ^ {- 1} )
Como outros mencionaram, a proporção entre dois números de Fibonacci consecutivos também se aproxima de \ varphi.
Na verdade, para qualquer sequência que satisfaça a relação de recorrência (com valores iniciais A\_0, A\_1 não ambos 0 porque isso se tornaria uma sequência constante ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
O limite de \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} conforme n \ a 0 se aproxima de \ varphi .
Isso pode ser provado deixando L ser o limite,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Usando a recorrência,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ a \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Novamente multiplicando por por L e usando a fórmula quadrática você pode mostrar que
L = \ varphi \ tag * {}
Resposta
Construção por compasso e régua
Scott Beach desenvolveu uma maneira de representar esse cálculo de phi em uma construção geométrica:
Como Scott compartilha em seu site: Triangle ABC é uma tria certa ngle, onde a medida do ângulo BAC é 90 graus. O comprimento do lado AB é 1 e o comprimento do lado AC é 2. O teorema de Pitágoras pode ser usado para determinar que o comprimento do lado BC é a raiz quadrada de 5. O lado BC pode ser estendido por 1 unidade de comprimento para estabelecer o ponto D. O segmento de linha DC pode então ser dividido ao meio (dividido por 2) para estabelecer o ponto E. O comprimento do segmento de linha EC é igual a Phi (1,618…).
Phi nomenal!
Fonte: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/