Melhor resposta
Isso não é rotação para 45 ^ o. Essa é a transformação para girar um vetor em \ mathbb {R} ^ 2 por um ângulo \ theta. Você pode derivar a fórmula como esta:
Deixe o vetor \ mathbf {V} ser girado por um ângulo \ theta abaixo alguma transformação para obter o novo vetor \ mathbf {V “}.
Seja r = | \ mathbf {V} |. Então, temos as relações:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x “= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Donde, você tem as relações:
v\_x “= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y “= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Isso é representado na forma de matriz como
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y “\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Resposta
Existem várias maneiras de atacar este problema.
A primeira é simplesmente invocar a rotação de Euler teorema, que afirma que qualquer número finito de rotações em torno de um único ponto fixo (mas em torno de eixos arbitrários em nd imensões) pode ser expressa como uma única rotação de ângulo \ theta em torno de um eixo \ hat {n}.
Se aceitarmos que toda rotação é representada por uma matriz, e que o método de rotação de um vetor é multiplicação de matriz, então segue imediatamente disto que o produto das matrizes de rotação A\_1 A\_2 … A\_n também deve ser uma matriz de rotação – caso contrário, violamos o teorema de rotação de Euler.
A questão é, obviamente, como você realmente prova este teorema.
O trabalho original de Euler é… bruto. Envolve muitos, muitos triângulos desenhados na superfície de esferas (ou seja, triângulos não euclidianos).
Se você gosta de seguir da prova até o fim, a página da wikipedia vinculada anteriormente parece fazer um trabalho meio decente.
Um método alternativo (ou, equivalentemente, uma forma secundária de provar o teorema de Euler, eu acho), é diretamente usar as propriedades das matrizes de rotação, com uma pequena excursão na Teoria dos Grupos.
Uma rotação, matematicamente falando, é qualquer operação em que as distâncias entre todos os pontos no espaço permanecem constantes, e que deixa pontos, ou conjunto de pontos, fixos (supondo que estamos em um espaço euclidiano simples), além de preservar a estrutura de orientação do objeto.
Na linguagem da teoria dos grupos, chamamos essas operações (no espaço euclidiano ) o “Grupo ortogonal especial em n dimensões”, ou SO (n) abreviadamente.
As matrizes A que são membros de SO (n) são definidas pelas duas propriedades a seguir:
- A ^ TA = 1\_n (o bit ortogonal)
- \ text {det} (A) = 1 (o bit especial)
Ou seja matrizes de rotação são matrizes ortogonais com um determinante. Aqui 1\_n é a matriz de identidade em n dimensões.
A condição de “ortogonalidade” é a condição que garante que as distâncias sejam preservadas, uma vez que no espaço euclidiano temos o comprimento dof um vetor \ mathbf {v} sendo:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Se girarmos este vetor, de modo que \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, com A um vetor ortogonal, então, pelas propriedades de multiplicação de matrizes:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Portanto, o a distância d não foi afetada pela rotação.
Todas as matrizes ortogonais têm determinante \ pm 1, mas aquelas com determinante negativo também incluem uma reflexão de inversão de espelho em torno de algum eixo. Dado que queremos puras rotações, não reflexos, a fim de preservar a orientação dos objetos em nosso espaço, nos restringimos àqueles com determinantes positivos – de onde vem o bit “especial”.
O fato de eu ter mencionado que essas estruturas formam um Grupo (com a operação associada sendo a multiplicação de matrizes) é de fato suficiente para concluir que o produto de várias matrizes de rotação é de fato também uma rotação, uma vez que os grupos são definidos como c perdido na operação de grupo .
Isso significa que quaisquer dois elementos g\_1 e g\_2 em um grupo G, com operação de grupo g\_1 \ bullet g\_2 deve retornar um terceiro elemento, g\_3, que também é membro do grupo G. Portanto, se A e B são matrizes de rotação, a partir da definição de um grupo, segue-se que A \ bullet B = AB também é uma matriz de rotação.
Claro … esta é uma saída de trapaça. Para afirmar que SO (n) foi um grupo, preciso provar que isso era verdade! Ele também pode ser mostrado explicitamente a partir das seguintes propriedades gerais da transposta e do determinante:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Portanto, construímos uma matriz C = AB, onde A e membros nus de SO (n) .
Em seguida, consideramos:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Como A ^ TA = 1\_n e B ^ TB = 1\_n, e a associatividade da multiplicação de matrizes.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ vezes 1 = 1
Portanto, vemos que C é uma matriz ortogonal, com determinante – ou seja, é um membro de SO (n) e, portanto, é uma matriz de rotação.
Provamos, portanto, que SO (n) (e de fato O (n)) forma um grupo que é fechado sob a multiplicação de matrizes e, portanto, por definição, a concatenação de múltiplas rotações é em si uma rotação.
Portanto, provamos o Teorema da Rotação de Euler.