Melhor resposta
O “perímetro” de qualquer forma fechada é simplesmente a soma dos comprimentos de todos os seus limites. Um “setor” (de um círculo) é delimitado por um arco e dois raios, então o perímetro é duas vezes o raio (r) mais o comprimento do arco. O arco é uma fração da circunferência do círculo, que é dois pi vezes o raio.
Portanto, tudo o que precisamos saber é o raio e a fração da circunferência (2 * pi * r) subtendida pelo arco. Essa fração é a mesma que qualquer fração da área do círculo que o setor ocupa, que é a mesma que qualquer fração que o ângulo central tira de 360 graus (ou radianos de 2 pi).
Se o ângulo central ângulo (no ponto do setor) é “teta”, então o arco é a circunferência (pi * 2 * r) vezes a fração feita por teta-graus / 360 graus (ou teta-radianos / 2-pi radianos) .
Por exemplo, se teta tem 90 graus, então o arco é um quarto do círculo, com um comprimento de: (1/4) * 2 * pi * r, então o perímetro é aquele comprimento de arco mais 2 * r (para os lados formados por raios).
Se teta for pi / 6 radianos (30 graus), então o comprimento do arco é (30/360) * 2 * pi * r, então o perímetro do setor é = r * [2 + pi / 6].
As fórmulas gerais para o perímetro de um setor, com teta expresso em graus seriam:
- [2 + (2 * pi) * theta (graus) / 360] * r
Se teta for expresso em radianos, a fórmula será:
- [2 + teta ( radianos)] * r
Resposta
Queremos a fórmula para o perímetro de um segmento de um círculo.
Considere o segmento ABC de um círculo com centro O de raio r.
Seja \ ângulo AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad O comprimento do arco ACB = r \ theta.
\ triângulo AOB é isósceles.
\ Rightarrow \ qquad A projeção de OA e OB em AB é r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad O comprimento do acorde AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ direita).
O perímetro do segmento ABC é a soma do comprimento do arco ACB e da corda AB.
\ Rightarrow \ qquad O perímetro do segmento ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).