Melhor resposta
Gavin Song já deu uma ótima resposta, mas farei o meu melhor para lhe fornecer uma alternativa maneira de olhar para este problema usando Cálculo.
Fato: qualquer elipse 2D pode ser parametrizada como
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Onde 0 \ leq t \ leq 2 \ pi e aeb são o semi-menor e o semi-maior eixos (também conhecido como os raios vertical e horizontal) respectivamente.
Considere que um ponto tem uma mudança no eixo xe outro no eixo y, digamos \ Delta y e \ Delta x. Usando o teorema de Pitágoras, sabemos que o comprimento entre a posição inicial e final do ponto é dado por (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Simples, certo?
Agora, aplique essa lógica à elipse parametrizada. Para aproximar o perímetro da elipse, poderíamos “seguir” um ponto na elipse ao longo de vários passos em t, medir o comprimento entre suas localizações em cada intervalo e somá-los no final. Se você tentar fazer isso sozinho, perceberá que a medição fica cada vez mais precisa se considerarmos intervalos cada vez menores. Portanto, para obter o perímetro verdadeiro, poderíamos realizar esse processo para intervalos infinitamente pequenos, o que resultaria em mudanças infinitamente pequenas em xey, digamos dx e dy. Isso é equivalente a avaliar a seguinte integral:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Deixe o perímetro ser expresso como l. Se usarmos a parametrização anterior, podemos expressar isso como
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Grande) ^ 2 + \ Grande (\ frac {dx} {dt} \ Grande) ^ 2 \ Grande) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Há um porém. Esta integral não tem solução simbólica a menos que a = b (que elegantemente nos dá a fórmula para o perímetro de um círculo), então nossa única opção é usar métodos numéricos para obter uma boa aproximação. Isso pode ser interessante ou decepcionante para você, mas de qualquer forma, espero que tenha ajudado.
🙂
Resposta
Se você tiver paciência, eu terei considere esta questão ao contrário.
Suponha que um círculo e uma elipse tenham áreas iguais.
Minha pergunta é “Eles têm os mesmos perímetros?”
(Observe que quando a = b = r a fórmula é a mesma que a área do círculo.)
A circunferência de um círculo é 2πr
A circunferência de uma elipse é muito difícil de calcular!
As pessoas tentaram encontrar fórmulas para encontrar a circunferência de uma elipse, mas a maioria das tentativas são apenas aproximações.
Alguns métodos envolvem até a soma de séries infinitas!
O famoso matemático indiano Ramanujan elaborou uma fórmula muito boa que é bastante preciso.
Observe que se a = b = r então a elipse se torna um círculo e a fórmula acima muda para o fórmula para a circunferência do círculo C = 2πr .
Se substituirmos isso em sua fórmula, obteremos:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Vamos considerar um exemplo particular onde o círculo tem um raio de 6 cm e uma elipse tem eixo principal de 9 cm e eixo menor 4 cm.
Área do círculo = π × 6 × 6 = 36π cm quadrados
Área de elipse = π × 9 × 4 = 36π sq cm
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A circunferência do círculo = 2πr = 12π cm
A circunferência da elipse usando a fórmula de Ramanujan é:
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Conclusão, se o círculo e a elipse têm a mesma área, a elipse tem um maior circunferência do que o círculo .